2024年中考数学二轮复习 讲义 专题十一 二次函数的综合题

专题十一 二次函数的综合题 类型一　特殊三角形的存在性问题 典例1　(2023·内江)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于B(4，0)，C(－2，0)两点，与y轴交于点A(0，－2)． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PK＋PD的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 典例1图 思路导析　(1)将A，B，C代入抛物线解析式求解即可；(2)可求直线AB的解析式为y＝x－2，设P(0＜m＜4)，可求K，从而可求PK＋PD＝－m2＋m＋2，即可求解；(3)过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2，设M(1，n)，可求AM2＝n2＋4n＋5，BM2＝n2＋9，由AB2＋BM12＝AM12或AB2＋AM22＝BM22，构建方程可得点M的坐标． 解：(1)由题意，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x－2； (2)∵A(0，－2)，B(4，0)， ∴直线AB的解析式为y＝x－2， 设P(0＜m＜4)，则K， ∴PK＋PD＝＋＝－m2＋m＋2＝－＋， ∴当m＝时，PK＋PD有最大值，最大值为，此时P； (3)存在．过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2，设M(1，n)，则AM2＝n2＋4n＋5，BM2＝n2＋9，AB2＝22＋42＝20， 典例1图 ①AB2＋BM12＝AM12， 即20＋n2＋9＝n2＋4n＋5， ∴n＝6， ∴M1(1，6)， ②AM22＋AB2＝BM22， 即n2＋4n＋5＋20＝n2＋9， ∴n＝－4，∴M2(1，－4)． 综上所述，存在M点，M的坐标为(1，6)或(1，－4)． 名师点拨　本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键． (2023·重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B(3，0)，C(0，－3)． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； (3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 跟踪训练1图 类型二　与角有关的问题 典例2　(2023·郴州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴相交于点A(1，0)，B(4，0)，与y轴相交于点C. 典例2图 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 思路导析　(1)由待定系数法求出函数解析式即可；(2)根据△PAC的周长等于PA＋PC＋AC，以及AC为定长，得到当PA＋PC的值最小时，△PAC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A，B关于对称轴对称，则PA＋PC＝PB＋PC≥BC，得到当P，B，C三点共线时，PA＋PC＝BC，进而求出P点坐标，即可得解；(3)求出D点坐标为(0，2)，进而得到tan∠OBD＝，得到∠QDB＝∠OBD，分点Q在DB上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴相交于点A(1，0)，B(4，0)， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－5x＋4； (2)∵抛物线的表达式为y＝x2－5x＋4， ∴C(0，4)，抛物线的对称轴为直线x＝， 典例2图 ∵△PAC的周长等于PA＋PC＋AC，AC为定长， ∴当PA＋PC的值最小时，△PAC的周长最小． ∵A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴PA＋PC＝PB＋PC≥BC，当P，B，C三点共线时，PA＋PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点． 设直线BC的解析式为y＝mx＋n. 则 解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4， 当x＝时，y＝－＋4＝， ∴P. ∵A(1，0)，C(0，4)， ∴PA＝＝，PC＝＝， ∴＝； (3)存在． ∵点D为OC的中点， ∴D(0，2)， ∴OD＝2. ∵B(4，0)， ∴OB