2024年九年级中考数学复习讲义 专题十 几何探究题

专题十 集合探究题 类型一　与平移有关的探究题 典例1　两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换： (1)如图1所示，△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF，AD，BD，请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系； (2)如图2所示，当点F平移到线段BC的中点时，四边形AFBD是什么特殊四边形？请给出证明； (3)当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，猜想△ABC应满足什么条件？ 典例1图 思路导析　(1)利用平行线的性质以及三角形面积关系得出答案；(2)证出AD＝BF，由平移可知AD∥BF，利用平行四边形的判定得出四边形AFBD为平行四边形即可；(3)根据题意画出图形，由等腰三角形的性质得出AF⊥BC，证出平行四边形AFBD为矩形，由直角三角形斜边上的中线性质得出AF＝BC＝BF，得出四边形AFBD是正方形． 解：(1)S△ABC＝S四边形AFBD. 理由如下： 由题意，得AD∥EC，AD＝CF＝BE， ∴S△ACF＝S△ADF＝S△ABD， 则S△ABC＝S△ACF＋S△AFB＝S△ADB＋S△AFB＝S四边形AFBD； (2)当点F平移到线段BC的中点时，四边形AFBD是平行四边形． 理由如下： ∵F为BC的中点， ∴CF＝BF. ∵CF＝AD， ∴AD＝BF，由平移可知AD∥BF， ∴四边形AFBD为平行四边形； (3)△ABC为等腰直角三角形，即AB＝AC，∠BAC＝90°. 典例1图 理由如下： 由(2)得四边形AFBD是平行四边形， ∵AB＝AC，F为BC的中点， ∴AF⊥BC， ∴平行四边形AFBD为矩形． ∵∠BAC＝90°，F为BC的中点， ∴AF＝BC＝BF， ∴四边形AFBD是正方形． 名师点拨　此题是四边形综合题目，考查了正方形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线性质以及等腰直角三角形的性质与平移变换的结合；本题综合性较强，有一定难度． 1．(2023·博山区二模)如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，点P，Q分别是AB，A1C1的中点，求PQ的最大值和最小值． 第1题图 2．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠A＝112°，点E，F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF. 第2题图 (1)求∠EOB的度数； (2)若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值； (3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由． 类型二　与轴对称有关的探究题 典例2　(2023·广西)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B′，E′；展平纸片，连接AB′，BB′，BE′.请完成： (1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系； (2)证明(1)中的猜想； 【类比操作】如图2，点N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B′，P′，展平纸片，连接BB′，P′B′.请完成： (3)证明BB′是∠NBC的一条三等分线． 典例2图 思路导析　(1)猜想∠1＝∠2＝∠3； (2)可推出点O是等边三角形ABB′的外心，从而得出∠1＝∠2＝30°，进一步得出结论； (3)同理(2)可得OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′，从而∠OBB′＝ ∠BB′O，∠P′BO＝∠B′BO，根据EF∥BC得出∠OB′B＝∠B′BC，进一步得出结论． 解：(1)∠1＝∠2＝∠3； (2)证明：如图1. 典例2图 设AM，EF交于点O. 由题意得EF是AB的垂直平分线，AM是BB′的垂直平分线， ∴AB′＝BB′，AB＝AB′， ∴AB′＝BB′＝AB，点O为△ABB′的外心，为BE′，AM，EF三线的交点， ∴∠ABB′＝60°， ∴∠1＝∠2＝30°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠3＝90°－60°＝30°， ∴∠1＝∠2＝∠3； (3)证明：如图2设EF与直线l交于O点，连接OB，OP，OP′，PB′， 典例2图 同理(2)得OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′， ∴∠OBB′＝∠OB′B. 在等腰△P′BB′中，∠P′BO＝∠B