2024年中考数学二轮复习 讲义 专题九 圆的综合题

专题九 圆的综合题 类型一　与切线性质有关的证明及计算 典例1　(2023·大连)如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E. (1)求∠BED的度数； (2)如图2，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点F，过点D作DG∥AF，交AB于点G.若AD＝2，DE＝4，求DG的长． 典例1图 思路导析　(1)根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；(2)由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可． 解：(1)∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AD为∠CAB的平分线， ∴∠BAC＝2∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ODA， ∴∠BOD＝∠BAD＋∠ODA＝2∠BAD， ∴∠BOD＝∠BAC， ∴OD∥AC， ∴∠OEB＝∠ACB＝90°， ∴∠BED＝90°； (2)连接BD. 设OA＝OB＝OD＝r， 则OE＝r－4，AC＝2OE＝2r－8，AB＝2r， 典例1图 ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，BD2＝AB2－AD2， 由(1)，得∠BED＝90°， ∴∠BED＝∠BEO＝90°， ∴BE2＝OB2－OE2，BE2＝BD2－DE2， ∴BD2＝AB2－AD2＝BE2＋DE2＝OB2－OE2＋DE2， ∴(2r)2－(2)2＝r2－(r－4)2＋42， 解得r＝7或r＝－5(负值舍去)， ∴AB＝2r＝14， ∴BD＝＝＝2. ∵AF是⊙O的切线， ∴AF⊥AB， ∵DG∥AF， ∴DG⊥AB， ∴S△ABD＝AD·BD＝AB·DG， ∴DG＝＝＝2. 1．(2023·福建)如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC. 第1题图 (1)求证：AO∥BE； (2)求证：AO平分∠BAC. 2．(2023·广元)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F. 第2题图 (1)求证：∠BCD＝∠BOE； (2)若sin∠CAB＝，AB＝10，求BD的长． 类型二　与切线判定有关的证明及计算 典例2　(2023·烟台一模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径， ∠ABC＝∠CBD，CD⊥BD，垂足为点D，延长DC交BA的延长线于点E. (1)EC是⊙O的切线吗？为什么？ (2)若BC＝48，BD＝45，求⊙O的半径． 典例2图 思路导析　(1)连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，则∠OCB＝∠CBD，根据平行线的性质得到OC⊥DE，根据切线的判定定理即可得到结论；(2)根据圆周角定理和垂直的定义得到∠ACB＝∠D＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：(1)EC是⊙O的切线． 理由：连接OC. 典例2图 ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠ABC＝∠CBD， ∴∠OCB＝∠CBD， ∴OC∥BD， ∵CD⊥BD， ∴OC⊥DE， ∵OC是⊙O的半径， ∴EC是⊙O的切线； (2)∵AB为⊙O的直径，CD⊥BD， ∴∠ACB＝∠D＝90°， ∵∠ABC＝∠CBD， ∴△ABC∽△CBD， ∴＝， ∴＝， ∴AB＝， ∴⊙O的半径为. 名师点拨 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理．要证明圆的切线，公共点已知，连半径，证垂直．正确地作出辅助线及理解切线的判定是解题的关键． 1．(2022·扬州)如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP. 第1题图 (1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若sinA＝，OA＝8，求CB的长． 2．(2022·宁夏)如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M. (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)求证：AB＝AM； (3)若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长． 第2题图 3．(2022·贵港)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC. (1)求证：AF是⊙O的切线； (2)若BC＝6，sinB＝，求⊙O的半径及OD的长． 第3题图 类型三　与切线性质、判定有关的证明及计算 典例3　(2023·怀化)如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC，AC，OC，且PC＝PA. (1)求证：PC为⊙O的切线； (2)延长PC与AB的延长线交于