2024年九年级中考数学复习讲义 专题五 简单的几何证明题

专题五 简单的几何证明题 类型一　三角形的几何证明 典例1　(2022·温州)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E. 典例1图 (1)求证：∠EBD＝∠EDB； (2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由． 思路导析　(1)利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；(2)利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由(1)得，∠EBD＝ ∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可． 解：(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD. ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB； (2)CD＝ED.理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC. ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴CD＝BE， 由(1)，得∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE， ∴CD＝ED. 1．如图，点C是线段AB上除点A，B外的任意一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，交DC于点M，连接BD，交CE于点N，连接MN. 第1题图 (1)求证：AE＝BD； (2)求证：MN∥AB. 2．(2023·临沂)如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB＋BD. 第2题图 (1)写出AB与BD的数量关系； (2)延长BC到点E，使CE＝BC，延长DC到点F，使CF＝DC，连接EF.求证：EF⊥AB； (3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH. 3．(2023·苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为点E. 第3题图 (1)求证：△DBE∽△ABC； (2)若AF＝2，求ED的长． 类型二　四边形的几何证明 典例2　(2023·湖北)如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A，D重合)，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，折痕分别与边AB，CD相交于点E，F，连接BM. 典例2图 (1)求证：∠AMB＝∠BMP； (2)若DP＝1，求MD的长． 思路导析　(1)利用平行线内错角相等和翻折前后对应角相等，等量代换即可证明；(2)利用相似列出关系式＝，利用边的关系代入到关系式也可求出． 解：(1)证明：点B，M关于线段EF对称，由翻折的性质可知EB＝EM，∠EBC＝ ∠EMN， ∴∠EBM＝∠EMB， ∴∠MBC＝∠BMP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠MBC＝∠AMB， ∴∠AMB＝∠BMP； (2)设MD＝x，则AM＝3－x，设AE＝y，则EM＝EB＝3－y. 在Rt△AEM中，AE2＋AM2＝EM2， ∴y2＋(3－x)2＝(3－y)2， ∴y＝－x2＋x，即AE＝－x2＋x. ∵∠EMN＝90°， ∴∠AME＋∠DMP＝90°. 又∵∠AEM＋∠AME＝90°， ∴∠AEM＝∠DMP，又∵∠A＝∠D， ∴△AEM∽△DMP， ∴＝，＝， 整理得x2＝2x， ∴x＝(x＝0舍去)． ∴MD＝. 1．(2023·遂宁)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD，BC所在的直线相交于点E，F.(点E不与点D重合) (1)求证：△DOE≌△BOF； (2)当直线l⊥BD时，连接BE，DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 第1题图 2．(2022·连云港)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC. (1)求证：四边形DBCE为菱形； (2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P，M，N分别在线段BE，BC，CE上运动，求PM＋PN的最小值． 第2题图 3．(2023·东昌府区模拟)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF. 第3题图 (1)求证：四边形AEFD是矩形； (2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． 4．(2023春·秦淮区期末)如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)探究：CE＋CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第4题图 专题五 简单的几何证明题 参考答案 类型一　三角形的几何证明 典例1　(2022·温州)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E. 典例1图