专题8.9 整式的乘法与因式分解章末八大题型总结（拔尖篇）-2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题8.9 整式的乘法与因式分解章末八大题型总结（拔尖篇） 【沪科版】 【题型1 巧用幂的运算逆向运算】 1 【题型2 整式乘法中不含某项问题】 1 【题型3 多项式乘法中的规律性问题】 2 【题型4 巧用乘法公式求值】 3 【题型5 乘法公式的几何背景】 4 【题型6 利用因式分解探究三角形形状】 7 【题型7 利用拆项或添项进行因式分解】 8 【题型8 因式分解的应用】 9 【题型1 巧用幂的运算逆向运算】 【例1】（2023春·安徽蚌埠·七年级统考期末）已知，，， （1） ； （2），，之间满足的等式关系为 ． 【变式1-1】（2023春·江苏苏州·七年级期中）已知常数a，b满足，且(，求的值， 【变式1-2】（2023春·河北石家庄·七年级统考期中）已知，． （1）的值为 ； （2）若，则的值为 ． 【变式1-3】（2023春·江苏泰州·七年级统考期中）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若，且，、都是正整数），则，例如：若，则．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【题型2 整式乘法中不含某项问题】 【例2】（2023春·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考期中）若的展开式中不含和项，则 ． 【变式2-1】（2023秋·甘肃武威·七年级校考期末）老师在黑板上布置了一道题： 已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值． 小亮和小新展开了下面的讨论： 小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做； 小新：这道题与y的值无关，可以求解； 根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？ 【变式2-2】（2023秋·河南周口·七年级校考期末）已知的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn的值为 ． 【变式2-3】（2023秋·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于、的代数式的值与的取值无关，求实数、的值． 【题型3 多项式乘法中的规律性问题】 【例3】（2023春·甘肃张掖·七年级校考期末）下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为 ．    【变式3-1】（2023春·重庆·七年级校考期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　． （2）的展开式共有______项，系数和为_______． （3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． （4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ． 【变式3-2】（2023春·广东深圳·七年级深圳中学校考开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 ．    【变式3-3】（2023春·北京昌平·七年级北京市昌平区第二中学校考期中）阅读以下材料： ； ； （1）根据以上规律，=　　　　 ； （2）利用（1）的结论，求的值 【题型4 巧用乘法公式求值】 【例4】（2023春·湖南益阳·七年级统考期中）使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题 (1)已知，求的值 (2)计算：（写计算过程） (3)设a，b，c，d都是正整数，并且，，求的值． 【变式4-1】（2023春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知x满足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是 ． 【变式4-2】（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）已知：，，，则：（1） ．（2）求x，y的值分别为 ． 【变式4-3】（2023春·湖南张家界·七年级统考期中）已知． (1)______； (2)求的值； (3)求结果的个位数字． 【题型5 乘法公式的几何背景】 【例5】（2023秋·江苏淮安