2.1.1 倾斜角与斜率 教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 倾斜角与斜率 教科书 书 名：普通高中数学选择性必修一教材 出版社：人民教育出版社 教学目标 1. 初步了解解析几何发展史和坐标法的思想，把握整章的研究内容和方法. 2. 理解直线倾斜角、斜率、方向向量的概念，掌握过两点的直线斜率公式. 教学内容 教学重点： 直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式. 教学难点： 直线倾斜角的抽象、斜率公式的推导. 教学过程 （1） 了解历史，本章概览 引导语：在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系，这种方法通常称为综合法.本章我们将用向量这个工具以全新的视角坐标法去研究几何图形，开启解析几何的学习之旅. 17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立了解析几何，通过坐标系将几何的基本元素点和代数的基本元素数对应起来，在此基础上建立曲线的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质.解析几何的创立使数学从此进入变量数学时代，也为微积分的创建奠定了基础. 本章我们将探究确定直线、圆的几何要素，通过几何要素代数化建立直线、圆的方程，进而借助方程解决实际问题. 师生活动：教师简单介绍解析几何的发展背景、思想方法，以及本章的研究内容，特别强调坐标法实现了对图形性质的定量化研究. 设计意图：使学生了解即将学习的新内容——解析几何的特点及意义.整体把握本章的研究对象，研究内容以及研究方法. （2） 抽象概括，定义形成 问题：确定一条直线的几何要素是什么？如何利用坐标系确定直线的位置？ 师生活动：明确思维方向，引导学生发现：两点可以确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.并把两点确定一条直线归结为一点和一个方向确定一条直线. 设计意图：引导学生认识到“一点和一个方向”可以唯一确定直线，方向是直线的一个重要几何要素. 问题：在平面直角坐标系中过一点可以做无数条直线，这些直线的区别是什么？ 师生活动：学生先思考，教师借助信息技术动态演示过一点P可以作无数条直线.规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向是比较合理的.因此这些直线的区别在于方向不同. 追问：如何表示这些直线的方向? 师生活动：借助信息技术，学生能够发现倾斜程度的不同直线向上的方向与轴正方向的夹角也随之不同，教师适时引出直线的倾斜角.倾斜角定义：当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 设计意图：探索描述直线的倾斜程度的几何要素，引出直线倾斜角的概念. 问题：直线倾斜角的取值范围是什么？ 师生活动：学生思考并得出直线的倾斜角的变化范围是[0°,180°），教师借助信息技术演示倾斜角的变化过程，进一步确认[0°,180°）范围内的角能表示所有直线的方向，从而让学生从倾斜角“形”的角度对直线的方向进行了刻画. 设计意图：借助信息技术的直观，进一步确认用倾斜角刻画直线倾斜程度的合理性，提升学生数学思维的严谨性. （3） 探究新知，公式推导 思考：如果直线经过两点，,那么直线的倾斜角与,坐标有怎样的关系？ 师生活动：师生指出直线可由其上任意两点确定.由两点确定，直线确定，则方向确定即是倾斜角确定，引出两点坐标与倾斜角一定有联系,引出探究必要性,从而将倾斜角代数化. 探究：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为. （1）已知直线经过,与，的坐标有什么关系？ （2）类似地，如果直线经过，，与,的坐标又有什么关系？ （3）一般地，如果经过两点，，那么与,的坐标有怎样的关系？ 师生活动：教师引导学生借助正切函数的定义与向量法完成探究.从特殊到一般推理得出直线的倾斜角为与直线上两点，的坐标关系： . 设计意图：通过探究活动中的三个问题，从特殊到一般.问题1直线过原点的情形，利用正切函数将倾斜角这个几何量用代数运算表示出来；问题2直线不过原点的情形，引导学生根据问题1的情形以及借助向量平移不改变倾斜角大小，从而将问题2转化为问题1；问题3对于一般的直线，在前两个问题研究基础上类比得出倾斜角正切值与两点坐标的关系，从而将倾斜角代数化.培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养. 思考：当直线与轴平行或重合时，还成立吗？为什么？ 师生活动：学生观察并分析式子的左右两边，发现对于与轴平行或重合的直线是适用的.直线的倾斜角α与直线上两点的坐标都有式子成立,从而把方向代数化,引出斜率. 直线斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即： 问题:实际生活中有没有像斜率这样刻画倾斜程度的量？ 师生活动:教师引导学生回忆日常生活中坡度，“坡度”表示倾斜面的倾