5.4二次函数与一元二次方程课件新版 2023—2024学年苏科版数学九年级下册

5.4 二次函数与一元二次方程 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数图像与一元二次方程的近似解的关系 二次函数y=ax2＋bx＋c的图像特征与a、b、c的符号关系 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 知1－讲 1 1. 二次函数图像与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的关系 一般地，从二次函数y=ax2＋bx＋c(a ≠ 0)的图像可知：如果抛物线y=ax2＋bx＋c(a ≠ 0)与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)的一个根. 知1－讲 2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a ≠ 0)的根的情况 有两个不相等的实数根x= 有两个相等的 实数根 x1=x2=－ 没有实 数根 知1－讲 续表 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 二次函数y= ax2＋bx＋c (a≠0)的图像 a>0 b<0 b>0 对称轴位于y轴左侧 知1－讲 续表 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 二次函数y= ax2＋bx＋c(a≠0)的图像 a<0 b>0 b<0 对称轴位于y轴左侧 抛物线与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) 没有交点 知1－讲 拓宽视野 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，求当y=t时自变量x的值，可以解一元二次方程ax2＋bx＋c=t. 一元二次方程ax2＋bx＋c=t的解是抛物线y=ax2＋bx＋c与直线y=t的公共点的横坐标. 知1－讲 例如：抛物线y=ax2＋bx＋c与直线y=t，如图5.4-1所示， 根据图像的交点可知，ax2＋bx＋c=0(t=0)的解为x1=－2.5，x2=0.5；ax2＋bx＋c=2(t=2)的解 为x1=m，x2=n；ax2＋bx＋c=3(t=3)的 解为x1=x2=－1；而ax2＋bx＋c=4(t=4) 没有实数根． 知1－练 例 1 [期末·北京] 已知关于x的二次函数y=mx2－4x＋2的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是 ___________． 解题秘方：紧扣抛物线与x轴的交点情况求出m的取值范围． 解：∵ y=mx2－4x＋2 是二次函数，∴ m ≠ 0. ∵抛物线与x轴有交点，∴ b2－4ac ≥ 0， 即16－8m ≥ 0，解得m ≤ 2. ∴ m ≤ 2 且m ≠ 0． m ≤ 2且m ≠ 0 知1－练 方法点拨 抛物线与x轴的交点问题通常可转化为一元二次方程根的判别式相关的问题，根据抛物线与x轴的交点情况，可确定一元二次方程根的判别式的符号. 知2－讲 知识点 二次函数图像与一元二次方程的近似解的关系 2 二次函数y=ax2＋bx＋c的图像与x轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0 的解，因此可以借助二次函数的图像求一元二次方程的解. (1)作出二次函数y=ax2＋bx＋c的图像，图像与x轴公共点的个数就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0 的解的个数. 知2－讲 (2)观察图像，函数图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0 的解，当函数图像与x轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解. 知2－讲 方法提醒 估计一元二次方程的解的方法： 在难以读出公共点的坐标时，我们可以通过不断缩小解所在范围估计一元二次方程的解，对于y=ax2＋bx＋c(a≠0)， 如果ax12＋bx1＋c>0，且ax22＋bx2＋c<0，那么在x1与x2之间存在一个解，取x3=，若ax32＋bx3＋c>0，则取x4=；若ax32＋bx3＋c<0，则取x4= .这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止. 知2－练 [模拟·上海] 根据下列表格中y=ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是___________． 例2 x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.06 6.18<x<6.19 知2－练 解题秘方：紧扣二次函数的函数值y由负变为正时，自变量x的取值即可． 解：由表格中的数据看出函数值－0.01 和0.02更接近于0，根据表格可知，当y=－0.01 时，x=6.18， 当y=0.02 时，x=6.19，故所求一个解x的范围是6.18<x<6.19． 知3－讲 知识点 二次函数y=ax2＋bx＋c的图像特征与a、b、c的符号关系 3 字母或式子的符号 图