5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 课件 2023--2024学年苏科版九年级数学下册

5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 用待定系数法求二次函数的表达式 知识点 用待定系数法求二次函数的表达式 知1－讲 1 1. 常见的二次函数表达式的适用条件 (1)一般式y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线上三点的坐标时，设此二次函数的表达式为y=ax2＋bx＋c； (2)顶点式y=a(x＋h)2＋k(a、h、k为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值时，可设此二次函数的表达式为y=a(x＋h)2＋k； 知1－讲 (3)拓展：交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a、x1、x2为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、(x2，0)时，可设此二次函数的表达式为y=a(x－x1)·(x－x2). 知1－讲 2. 用待定系数法求二次函数表达式的步骤 (1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式，如y=ax2＋bx＋c或y=a(x＋h)2＋k或y=a(x－x1)(x－x2)，其中a ≠ 0； (2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程(组)； (3)解：解此方程(组)，求出待定系数的值； (4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式. 知1－讲 技巧提醒 特殊位置的抛物线的表达式的设法技巧： 1. 顶点在原点，可设为y=ax2； 2. 对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y=ax2＋k； 3. 顶点在x轴上，可设为y=a(x＋h)2； 4. 抛物线过原点，可设为y=ax2＋bx. 知1－练 例 1 [月考· 南通] 一个二次函数的图像经过(－1，－1)、(0，0)、(1，9)三点． (1)求这个二次函数的表达式； 解题秘方：已知图像上三点的坐标，可设二次函数的一般式，然后用待定系数法求解； 知1－练 解：设二次函数的表达式为y=ax2＋bx＋c(a ≠ 0)， ∵二次函数的图像经过(0，0)、(－1，－1)、(1，9)三点， ∴解得 ∴这个二次函数的表达式是y=4x2＋5x. 知1－练 (2)若另外三点(x1，16)、(x2，16)、(x1＋x2，n)也在该二次函数图像上，求n的值． 解题秘方：利用函数图像的对称轴为直线x=－求出x1＋x2的值，然后代入表达式求出n的值． 知1－练 解：∵二次函数的表达式为y=4x2＋5x， ∴其图像的对称轴为直线x=－=－=－． ∵点(x1，16)、(x2，16)、(x1＋x2，n)也在该二次函数的图像上，∴=－，则x1＋x2=－． 把点(－，n)的坐标代入函数表达式， 得n=4×(－)2＋5×(－)=0． 知1－练 详解 把点(x1，16)、(x2，16)的坐标代入y=4x2＋5x中，可知x1、x2是方程4x2＋5x＝16的两个解，则x1＋x2=－，∴根据纵坐标相同的两点坐标，可得对称轴为直线x＝－＝ ． 知1－练 特别提醒 通常，要确定函数表达式中几个待定的系数，相应地就需要几个已知条件，根据这些已知条件列出方程(组)求解. 知1－练 [中考·攀枝花节选] 二次函数y=ax2＋bx＋c的图像与 x轴交于O(O为坐标原点)，A两点，且二次函数的最小值为－1，点M(1，m)是其对称轴上一点．求二次函数的表达式． 解题秘方：根据抛物线顶点式y=a(x＋h)2＋k(a ≠ 0)的顶点坐标为(－h，k)，设出表达式求解. 例 2 知1－练 解：∵二次函数的最小值为－1，点M(1，m)是其对称轴上一点，∴二次函数的图像的顶点坐标为(1，－1). 设所求二次函数表达式为y=a(x＋h)2＋k(a ≠ 0)， 由题意可知－h=1，k=－1，则h=－1， ∴二次函数表达式为y=a(x－1)2－1． 把点O(0，0)的坐标代入y=a(x－1)2－1，得a－1=0， 解得a=1.∴二次函数的表达式为y=(x－1)2－1=x2－2x． 知1－练 特别提醒 1. 已知顶点坐标、对称轴、最大值或最小值，求二次函数表达式时，一般用顶点式y=a(x＋h)2＋k(a≠0)较方便； 2. 另解：由题意，得解得 ∴这个二次函数的表达式为y=x2－2x. 用待定系数法确定二次函数表达式 特殊 表达 式 一般式： y=ax2＋bx＋c(a≠ 0) 二次 函数 的表 达式 顶点式： y=a(x＋h)2＋k(a≠0) 交点式： y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 顶点在原点， 可设为y=ax2 对称轴为y轴，可 设为y=ax2＋k 顶点在x轴上，可 设为y=a(x＋h)2 抛物线过原点，可 设为y=ax2＋bx $$