备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（一）

备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（一）（新结构） 解答题（共5小题，满分77分） 1．（本题13分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数有最小值2，求的值. 2．（本题15分）已知，都是的边的三等分点，是的中点，，，，如图①．同时将和分别沿，折起，折起后，如图②． （1）在图②中，求证：； （2）在图②中，若，求二面角的余弦． 3．（本题15分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 4．（本题17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，离心率为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过作直线与椭圆交于两点， （i）若，求面积的取值范围； （ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由. 5．（本题17分）已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（一）（新结构） 解答题（共5小题，满分77分） 1．（本题13分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数有最小值2，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，得到函数单调性和最小值，得到，构造，求导得到函数单调性，结合特殊点的函数值，得到答案. 【详解】（1）当时，的定义域为， 则，则， 由于函数在点处切线方程为，即. （2）的定义域为， ， 当时，令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，，即 则令，设， 令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，解得：. 2．（本题15分）已知，都是的边的三等分点，是的中点，，，，如图①．同时将和分别沿，折起，折起后，如图②． （1）在图②中，求证：； （2）在图②中，若，求二面角的余弦． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）证明是菱形，得平面及，再由与垂直得线面垂直，从而得，然后可得线面垂直，再证得线线垂直． （2）设线段中点为，分别以直线，为轴和轴，以过点平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【详解】（1）证明：在图②中，，． ∵，所以四边形是菱形即四边形确定一平面，且，是平面内两相交直线．∴平面． ∵平面，∴． 在菱形中，． ∵，是平面内两相交直线，∴平面． ∵平面，∴． （2）图①由已知是中点，是中点，所以， ∵，∴． 由（1）知，平面平面． ∵，∴是边长为2的正三角形． 设线段中点为，则． 分别以直线，为轴和轴，以过点平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ∴，，． 分别设和是平面和平面的一个法向量，则有，，，． ∴且 不妨取，，可得，， ∴，所以，二面角的余弦为． 【点睛】方法点睛：本题考查证明线线垂直，求二面角．求二面角的方法： （1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）． 3．（本题15分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率