备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（四）

备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（四）（新结构） 解答题（共5小题，满分77分） 1．（13分）已知的三个内角，，的对边分别为，，，的外接圆半径为，且． （1）求； （2）求的内切圆半径的取值范围． 2．（15分）如图，在四棱柱中，二面角，均为直二面角． （1）求证：平面； （2）若，，二面角的正弦值为，求的值． 3．（15分）记复数的一个构造：从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部．重复次这样的构造，可得到个复数，将它们的乘积记为． 已知复数具有运算性质：，其中，，，． （1）当时，记的取值为，求的分布列； （2）当时，求满足的概率； （3）求的概率． 4．（17分）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件： ①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧； ②圆与曲线在点处有相同的切线； ③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点，处的二阶导数等于，则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径． （1）求抛物线在原点的曲率圆的方程； （2）求曲线的曲率半径的最小值； （3）若曲线在 和处有相同的曲率半径，求证：． 5．（17分）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线交于，两点在第一象限）． （1）当时，求直线的方程； （2）若三角形的外接圆与曲线交于点（异于点，，， （ⅰ）证明：的重心的纵坐标为定值，并求出此定值； （ⅱ）求凸四边形的面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（四）（新结构） 解答题（共5小题，满分77分） 1．（13分）已知的三个内角，，的对边分别为，，，的外接圆半径为，且． （1）求； （2）求的内切圆半径的取值范围． 【答案】（1）3；（2） 【详解】（1）由正弦定理可得，，即， 所以， 由可知，， 所以，故； （2）因为的内切圆半径为， 所以， 即，又因为，所以， 所以， 由正弦定理 ， 又，则， 所以，故， 所以． 2．（15分）如图，在四棱柱中，二面角，均为直二面角． （1）求证：平面； （2）若，，二面角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：在平面内取一点，过点作直线， 因为二面角为直二面角，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理，过点作直线， 因为二面角为直二面角， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，不平行，所以，不重合，又，，平面， 所以平面． （2）解：以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，1，，，0，，，0，，，1，， 所以，，0，，，，1，， 设平面的法向量为，，，则， 取，则，，所以，2，， 设平面的法向量为，，，则， 取，则，，所以，，， 因为二面角的正弦值为， 所以，， 即，解得， 故． 3．（15分）记复数的一个构造：从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部．重复次这样的构造，可得到个复数，将它们的乘积记为． 已知复数具有运算性质：，其中，，，． （1）当时，记的取值为，求的分布列； （2）当时，求满足的概率； （3）求的概率． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）由题意可知，可构成的复数为， 由复数模长的定义可知，，，， 所以的可能取值为， 由古典概型的概率公式可得：， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 （2）当时，共有种，满足的情况有： ①3个复数的模长均为1，共有种， ②3个复数中，2个模长均为1，1个模长为或者2，共有种， 所以； （3）当或2时，显然都满足，此时， 当时，满足共有三种情况： ①个复数的模长均为1，则共有种情况， ②个复数的模长为1，剩余1个模长为或者2，则共有种情况， ③个复数的模长为1，剩余2个模长为或者2，则共有种情况， 故， 此时当，2均成立， 所以． 4．（17分）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件： ①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧； ②圆与曲线在点处有相同的切线； ③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点，处的二阶导数等于，则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径． （1）求抛物线在原点的曲率圆的方程； （2）求曲线的曲率半径的最小值； （3）若曲线在 和处有相同的曲率半径，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【详解】（1）由题意得，， 设，则，，， 所以， 所以抛物线在原点的曲率圆的方程为． （2），，， 设点，， 所以， 联立解得， 所以，其中， 所以， 所以． （3）证明：由题得， 所以， 设，则， 所以， 整理得， 所以， 设，则， 所以，得