18.3 菱形的性质与判定（八大题型）（题型·技巧培优系列）-2023-2024学年八年级数学下册同步精讲精练（人教版）

（人教版）八年级下册数学《第十八章 平行四边形》 18.3 菱形的性质和判定 知识点一 菱形的定义 ●●定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. ★1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可. ★2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法. 知识点二 菱形的性质 ★1、菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质. ②菱形的四条边都相等. ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. ⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等. 性质定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD； AC平分∠BAD，AC平分∠BCD； BD平分∠ABC，BD平分∠ADC； ★2、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） ③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； 知识点三 菱形的判定 ●●菱形的判定方法： ★1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. ★2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理1应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形. ★3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 定理2应用格式： ∵ AB=BC=CD=AD, ∴ 四边形ABCD是菱形. 【要点解析】 （1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的； （2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等. ②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直. （3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等. 题型一 利用菱形的性质求角度 【例题1】（2023•自贡一模）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（　　） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 解题技巧提炼 在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的对角线互相垂直且平分一组对角，因此常通过连接对角线，把四边形的问题转化为特殊三角形（等边三角形、直角三角形）问题来解答. 【变式1-1】（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式1-2】（2022秋•碑林区校级期末）如图，菱形ABCD的周长是40cm，对角线AC为10cm，则菱形相邻两内角的度数分别为 　 　． 【变式1-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD的度数是（　　） A．80° B．82° C．86° D．88° 【变式1-4】（2023•博罗县校级开学）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【变式1-5】（2022春•香坊区校级期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，则∠PDC的度数为 　 　． 【变式1-6】如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度数． 题型二 利用菱形的性质求线段长 【例题2】（2022秋•山亭区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝　 ． 解题技巧提炼 由于菱形的对角线互相垂直平分，所以对于菱形的两条对角线及边这三个元素中知道任意两个的长度，都能根据勾股定理求出第三个. 【变式2-1】（2023秋•甘州区校级期末）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式2-2】（2022秋•滕州市校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（　　） A． B．8 C．4 D． 【变式2-3】（2023秋•宝鸡期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O