专题01 空间向量综合应用（考题猜想，6种题型）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题01 空间向量综合应用 一．利用空间向量求线线角 1．（22-23高二上·广东汕尾·期末）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西西安·期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·云南昆明·期中）如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·黑龙江·期中）如图，在四棱锥中，PD底面，底面为正方形，PD=DC=2，Q为PC上一点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·江苏徐州·期中）如图，在直三棱柱中，是的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． （1）求的长． （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 7．（23-24高二上·上海·期中）（改变）在四面体中，各棱长均相等，、分别是、的中点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）求异面直线和所成角的余弦值． 8．（23-24高二上·安徽合肥·期中）在正方体中，已知为中点，如图所示． （1）求证：平面 （2）求异面直线与夹角大小． 二．利用空间向量求线面角 9．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（    ）． A． B． C． D． 10．（23-24高二上·北京·期中）如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（    ） A． B． C． D．1 11．（22-23高二下·江苏连云港·期中）在正方体中，点，分别是，上的动点，当线段的长最小时，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知平行六面体的各条棱长均为2，且有． （1）求证：平面： （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 13．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角． 14．（23-24高二上·浙江·期中）如图，四棱锥中，底面为矩形，，，为的中点．    （1）若，求证：； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 15．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，，二面角的大小为． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（23-24高二上·江苏南通·期中）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，．E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当时，求直线BF与平面DEF所成角的正弦值． 三．利用空间向量求二面角 17．（22-23高二上·北京·期中）设分别是平面α，β的法向量，则平面α与平面β的夹角是 ． 18．（23-24高二上·新疆阿克苏·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点．    （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； 19．（23-24高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点 （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 20．（22-23高二下·浙江温州·期中）在三棱锥中，，平面，点是棱上的动点，点是棱上的动点，且. （1）当时，求证：； （2）当的长最小时，求二面角的余弦值 21．（23-24高二上·云南玉溪·期中）将沿它的中位线折起，使顶点到达点的位置，且，得到如图所示的四棱锥，若，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 22．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在正四棱锥中，，，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角. 23．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面． （1）若是线段的中点，求证：平面； （2）若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值． 24．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期中）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点. （1）求圆柱的表面积； （2）求二面角的余弦值. 四．利用空间向量求空间距离 25．（22-23高二上·广东江门·期中）平面的一个法向量，在内，则到的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 26．