2024年中考数学二轮专题 复习 微专题5 二次函数综合应用（铅垂法求三角形面积）

微专题5 二次函数综合应用（铅垂法求三角形面积） 知识点精讲 求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法． 【方法总结】 作以下定义： A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”； 过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”． 如图可得： 【解题步骤】 （1）求A、B两点水平距离，即水平宽； （2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C； （3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标； （4）根据C、D坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积． 例题精析 例题（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，根据数形结合的思想解题时关键． （）根据一次函数解析式求出点、的坐标，然后运用待定系数求二次函数解析式即可； （）设的面积为，，则，列出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可得解。 【答案】（1）解：在中，令得，令得 ，， 二次函数的图象过、两点， ， 解得 二次函数的表达式为； （2）解：过点作轴交于点，    设的面积为，，则， ∴ ∵，， ∴ ∴当时，面积的最大值为，， 点的坐标是 专题精炼 1．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2022·山东烟台·中考真题）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·山西临汾·一模）综合与探究 如图，抛物线的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，作直线． (1)求抛物线表达式及所在直线的函数表达式； (2)若点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若点M是抛物线上的点，且，请直接写出点M的坐标． 4．（23-24九年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接，，． (1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与直线交于点，若存在与中一个是另一个的2倍，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·四川内江·一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； (3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．    (1)请直接写出点，，的坐标； (2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． (3)点是抛物线上的动点，作交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024·山西晋城·一模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边