圆锥曲线的方程解答题综合训练-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆锥曲线的综合 1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点T(3，t)到焦点F的距离为4. (1)求p的值； (2)设A，B是抛物线C上分别位于x轴两侧的两个动点，且·＝5，其中O为坐标原点．求证：直线AB过定点． 2．已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点P在双曲线C上，点F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，||PF1|－|PF2||＝2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点A(－1，0)，B(1，0)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2.证明：k1k2为定值． 3．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，且椭圆C经过点M(3，). (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B(均异于点M).若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由． 4．若抛物线C：x2＝2py(p>0)上的一点P(x0，)到它的焦点的距离为. (1)求C的标准方程； (2)若过点Q(0，3)的直线l与抛物线C相交于A，B两点．求证：＋为定值． 5．已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆E的左焦点，且椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形． (1)求椭圆E的方程； (2)直线y＝交椭圆E于A，B两点，点P在线段AB上移动，连接OP交椭圆于M，N两点，过P作MN的垂线交x轴于Q，求△MNQ面积的最小值． 6．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 参考答案 1．解析：(1)由抛物线定义得，3＋＝4⇒p＝2. (2)设直线AB的方程为x＝my＋n，A(，y1)，B(，y2)，联立，消去x得y2－4my－4n＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n.由·＝5得＋y1y2＝5，所以y1y2＝－20或y1y2＝4(舍)，即－4n＝－20⇒n＝5，所以直线AB的方程为x＝my＋5，所以直线AB过定点P(5，0). 2．解析：(1)由题知：||PF1|－|PF2||＝2，由双曲线的定义知： 2a＝2，a＝1.又∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝c2－a2＝2， ∴双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)证明：设P(x0，y0)，则x－＝1， ∵A(－1，0)，B(1，0)，∴k1＝，k2＝，∴k1k2＝()()＝＝＝2. 3．解析：(1)由e＝，得＝＝，所以a2＝9b2，① 又椭圆过点M(3，)，则＋＝1，② 由①②解得a＝6，b＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设直线MA的斜率为k，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为－k. 联立直线MA与椭圆方程，得. 整理得(9k2＋1)x2＋18k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0，所以x1＝－3，同理可得x2＝－3， 所以x2－x1＝，x2＋x1＝－6. 又y2－y1＝－kx2＋＋3k－(kx1＋－3k) ＝－k(x2＋x1)＋6k ＝＋12k＝， 所以kAB＝＝＝为定值． 4．解析：(1)抛物线x2＝2py(p>0)的准线l的方程为y＝－，根据抛物线的定义知点P到它的焦点的距离即为点P到准线l的距离，所以＋＝，解得p＝3，所以C的标准方程为x2＝6y. (2)证明：显然直线l的斜率存在， 可设直线l的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立，消去y，得x2－6kx－18＝0， 所以Δ＝36k2＋72>0，x1＋x2＝6k，x1x2＝－18， 又|AQ|＝＝|x1|，同理|BQ|＝|x2|. 所以＋＝＋＝＝＝＝， 所以＋为定值． 5．解析：(1)由题知抛物线的准线为x＝－， ∴c＝，因为椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形，∴b＝1，a＝2，故椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)得椭圆的方程为＋y2＝1， ∵MN的垂线交x轴于Q， ∴MN的斜率存在， ∵连接OP交椭圆于M，N两点， ∴MN的斜率不为0， 不妨设lMN：y＝kx，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则P(，)， 联立， 即(1＋4k2)x2－4＝0， ∴x1＋x2＝0，x1·x2＝， ∴|MN|＝· ＝·， 设Q(m，0)，