专题02 向量的数量积与三角恒等变换（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

人教B版（2019)必修第三册期中考点大串讲 串讲02 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 知识点1　向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量__________叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝__________. 规定：零向量与任一向量的数量积为___. 思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0? 答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b. |a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 知识点2　投影向量 投影 投影 知识点3　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. 知识点4　平面向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝____(交换律). (2)(λa)·b＝_____＝______＝λa·b(数乘结合律). (3)(a＋b)·c＝ (分配律). b·a a·(λb) λ(a·b) a·c＋b·c 知识点5　平面向量数量积的运算性质 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝______________ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝________ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a a2＋2a·b＋b2 a2－b2 (1)公式S2α：sin 2α＝ . (2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)公式T2α：tan 2α＝ . 2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α 知识点6 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)1－cos α＝ ，1＋cos α＝ .(升幂公式) (2)1±sin α＝ .(升幂公式) (3)sin2α＝ ，cos2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式) 知识点7 常用的部分三角公式 02 典例剖析 向量的数量积、向量的垂直是考查的热点，向量的数量积，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查.解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、直观想象等核心素养. 考点1 向量的数量积 12 解析　根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)， 即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)， 12 向量数量积的运算方法总结 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为非零向量a，b的夹角). (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 考点2 向量数量积的应用 2 2 【例5】　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 方法二　(数形结合法) 由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图， 又∠AOB＝60°， 解　因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1. (1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝ 求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 考点3 与垂直有关的问题 √ 因为n·(tm＋n)＝0， 所以tm·n＋n2＝0， 所以t＝－4. (1)求向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝