高中数学公式及知识点大全（四）计数原理、概率公式及知识点大全-2025年高三数学一轮复习高中数学公式和知识点大全（北师大版2019）

高中数学公式及知识点速记（四） 九、计数原理 1、分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ①分类加法计数原理：完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”。每类办法中分别有种方法， 且每种方法都能独立地完成这件事，每种方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事，那么， 完成这件事共有种方法 ②分步乘法计数原理：完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”。每类办法中分别有种方法， 除最后一步外，其他每步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完 成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，那么，完成这件事共有种方法 2、排列与排列数 ①排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素 中取出个元素的一个排列 ②排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个 元素的排列数，用符号表示 ③排列数公式： 3、组合与组合数 ①组合：一般地，从个不同的元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元 素的一个组合 ②组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个 元素的组合数，用符号表示 ③组合数公式： ④组合数的性质：（1）；（2） 4、排列组合基本模型 （1）抽球模型 ①分次抓不放回 从6个不同的球中抽2个球，不放回地抽2次，每次抽1个，共有种方法（或） ②一次性抽 从6个不同的球中抽2个球，抽1次，1次性抽2个，共有种方法（或或） ③分次抓有放回 从6个不同的球中抽2个球，有放回地抓2次，每次抽1个，共有种方法 （2）骰子模型 ①投2次骰子，每次投1个，共有种方法 ②投1次骰子，一次性投掷2个，共有种方法 5、二项式定理 （1）二项式定理：一般地，对于任意的正整数，都有 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式. （2）二项展开式的特征： ①二项展开式共有项，其第项是，其第项的二项式系数为； ②字母的指数由开始按降幂排列到0，的指数由0开始按升幂排列到 （3）二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为，项的系数指该项中除字母外的部分. （4）二项式系数的性质 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 增减性：当时，二项式系数是逐渐增大的，当时，它是逐渐减小的 最大值：当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值； 当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值 （5）二项式系数和： ①二项展开式中各二项式系数之和为； ②二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于. （6）杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理， 二项式系数也可以直接用下表计算： 　 　…………………  　 　………………     　 　……………        　 　…………          　　 ………          　　 ……             ……表中有如下规律：“左、右两边斜行各数都是，其余各数都等于它肩上两个数字的和。” 十、排列组合常用见问题 1、投信问题 将个不同的球放到个不同的盒子里，盒子可空可不空，共有种方法 2、不同元素的分组分配问题（破序法） ①平均分组分配：将个不同的球放到个不同的盒子里，每个盒子放2个球，共有种方法 ②部分平均分组分配：将个不同的球放到个不同的盒子里，3盒子分别放1,1,4个球， 共有种方法 ③不平均分组分配：将个不同的球放到个不同的盒子里，3盒子分别放1,2,3个球， 共有种方法 ④不同元素的分组分配综合问题：将个不同的球放到个不同的盒子里，每个盒子至少放1个球， 共有种方法 3、相同元素的分组分配问题（隔板法） 将个相同的球放到个不同的盒子里，每个盒子至少放1个球，共有种方法 将个相同的球放到个不同的盒子里，只有1个空盒子，共有种方法 将个相同的球放到个不同的盒子里，只有2个空盒子，共有种方法 将个相同的球放到个不同的盒子里，盒子可空可不空，共有种方法 4、排队问题（捆绑法、插空法、破序法、特殊元素优先思想、间接思想） ①捆绑法：将个带有1~6编号的球排成一列，要求1号和2号相邻，共有种方法 ②插空法：将个带有1~6编号的球排成一列，要求3号和4号不相邻，共有种方法 ③破序法：将个带有1~6编号的球排成一列，要求1号要排在2号、3号的左边，共有种方法 5、排数问题（特殊元素优先思想、分类思想） 从0,1,2,3,4,5中选3个数，组成没有重复数字的3位数，共有种方法 6、涂色问题（分类思想） 用6种不同的颜色给右图涂颜色，要求每部分涂1种颜色， 共边的两部分颜色互异，共有种方法 7、环排问题 将个不同的球排成一圈，共有种方法 十一、概率 1、事