专题强化练3 椭圆与双曲线的综合应用-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

专题强化练3　椭圆与双曲线的综合应用　　　　　 　　　　 　　　　 1.(多选题)(2024山东日照期中)曲线C的方程为Ax2+By2=1,则下列命题正确的是(　　) A.若曲线C为双曲线,则AB<0 B.若曲线C为椭圆,则A>0,B>0且A≠B C.曲线C不可能是圆 D.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则B>A>0 2.设椭圆C1:=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为26,若曲线C2上的点分别到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(　　) A.=1 C.=1 3.设F1,F2是椭圆C1:=1(a1>b1>0)与双曲线C2:=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,曲线C1,C2在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90°,若椭圆C1的离心率e1∈,则双曲线C2的离心率e2的取值范围是(　　) A.(1,] C.[,+∞) 4.(多选题)已知椭圆M:=1(a>b>0),双曲线N:=1(m>n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则下列结论正确的有(　　) A.椭圆的离心率e1=-1 B.双曲线的离心率e2=2 C.椭圆上不存在点A使得<0 D.双曲线上存在点B使得<0 5.(2024山东齐鲁名校学业质量联合检测)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是C1上任意一点,△MF1F2的面积的最大值为,C1的焦距为2,则双曲线C2:=1的实轴长为　　　　.  6.已知椭圆C1:=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则b2=　　　　.  7.(2022广东珠海期末)已知椭圆C1:)的左、右焦点F1,F2是双曲线C2的左、右顶点,C1的离心率为,C2的离心率为,点E在C2上,过点E和F1,F2分别作直线交椭圆C1于点F,G和点M,N,如图. (1)求C1,C2的方程; (2)求证:直线EF1和EF2的斜率之积为定值; (3)求证:为定值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练3　椭圆与双曲线的综合应用 1.ABD　对于A,若曲线C为双曲线,则A,B一正一负,即AB<0,故A正确;易知B正确;对于C,当A=B>0时,曲线C:x2+y2=,则曲线C是以(0,0)为圆心,为半径的圆,故C错误;对于D,因为曲线C为焦点在x轴上的椭圆,C:=1,所以>0,即0<A<B,故D正确.故选ABD. 2.A　由题意得 设F1,F2分别为椭圆C1的左、右焦点,则F1(-5,0),F2(5,0), 因为曲线C2上的点分别到F1,F2的距离的差的绝对值等于8,且|F1F2|=10>8, 所以曲线C2是以F1,F2为焦点,实轴长为8的双曲线, 所以曲线C2的虚半轴长为=3, 故曲线C2的标准方程为=1. 故选A. 3.A　不妨设F1为椭圆C1的左焦点.由题意可得,|MF1|+|MF2|=2a1,|MF1|-|MF2|=2a2,所以|MF1|=a1+a2,|MF2|=a1-a2,因为∠F1MF2=90°,|F1F2|=2c,所以(a1+a2)2+(a1-a2)2=(2c)2,整理得=2c2,所以=2,又e1∈,所以e2=∈(1,].故选A. 4.ABD　如图,设|F1F2|=2c,由正六边形的性质可得点I, 由点I在椭圆上,可得=1,结合a2-b2=c2可得-3, ∴椭圆的离心率e1=-1,故A正确; ∵2a2-(2c)2=[2-4(-1)2]a2<0, ∴当A为椭圆的上顶点时,cos∠F1AF2<0,此时<0,故C错误; ∵点I在双曲线N:=1(m>n>0)的渐近线y=x上,∴c,即, ∴双曲线的离心率e2==2,故B正确; 易知当B为双曲线的顶点时,<0,故D正确. 故选ABD. 5.答案　4 解析　根据题意,得×2c×|yM|≤cb, 由题知 所以双曲线C2的方程为=1, 故双曲线C2的实轴长为4. 6.答案　 解析　易知圆的直径|AB|=2a,不妨设与圆交于A,B两点的双曲线的渐近线方程为y=2x,C,D为AB的三等分点,点C的横坐标为m,则点C(m,2m),如图, 由题意可知|OC|=,且点C在椭圆上, 所以消去m,得=1, 故a2=11b2, 又双曲线和椭圆有公共的焦点,所以a2-b2=1+4=5,所以b2=. 7.解析　(1)由题设知,椭圆C1的离心率为,b2=6,∴a2=18,c2=12, ∴F1(-2,0). ∵椭圆C1的左、右焦点F1,F2是双曲线C2的左、右顶点, ∴可设双曲线C2:=1(n>0), ∴C2的离心率为,∴n2=12. ∴C1的方程为=1,C2的方程为=1. (2)证明:设E(x0,y0), ∵点E在C2上, ∴-12, ∴