山西省应县第一中学校2023-2024学年高三下学期一模数学试题

数学 本试卷满分150分．考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 4. 已知是偶函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 5. 已知一组样本数据分别为，若这组数据的平均数为4，则数据，的方差为（ ） A. B. 8 C. 16 D. 24 6. 已知椭圆与双曲线有且仅有两个交点，若椭圆的离心率为，则椭圆的短轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 设为等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 8. 在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆锥侧面积为，底面圆的周长为，则（ ） A. 圆锥的母线长为4 B. 圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 C. 圆锥体积为 D. 沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为 10. 将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 是的一个对称中心 C. 的单调递增区间为 D. 在上恰有3个零点 11. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ） A. 若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______． 13. 若，则______． 14. 已知点是双曲线的右焦点，过的直线与交于两点，点与点关于原点对称，．若为线段上靠近点的四等分点，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，向量，且． （1）求； （2）求的最小值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，分别为上的点，平面． （1）若，求的长； （2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲首先发球，连续传球次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为． （1）当时，求球又回到甲手中的概率； （2）当时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量，求的分布列与数学期望； （3）记，求证：数列从第3项起构成等比数列，并求． 18. 已知抛物线的准线方程为，直线与圆相切于点，且圆心在直线上． （1）求抛物线和圆的标准方程； （2）若是轴上两点，是抛物线上的动点，且直线与圆均相切，，求的周长最小时，点的坐标． 19. 已知函数为的导函数． （1）若函数在处切线的斜率为2，求的值； （2）求证：． 数学 本试卷满分150分．考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）分布列见解析，； （3）证明见解析，. 【18题答案】 【答案】（1）， （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明见