6.2.2 课时2 导数与函数的最大(小)值 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.2.2 课时2　导数与函数的最大(小)值 【学习目标】 1.借助函数图象,直观地理解函数的最大值和最小值的概念.(直观想象) 2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系.(数学抽象、逻辑推理) 3.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.(逻辑推理、数学建模、数学运算) 【自主预习】 1.如图,观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象,你能找出它的极大值、极小值吗? 2.对上述的函数y=f(x),你能找出它在区间[a,b]上的最大值、最小值吗?在区间(a,b)上呢? 3.结合上述问题,如果区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么可以得出什么结论? 4.如何求连续函数f(x)在[a,b]上的最值? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一般地,连续函数f(x)在[a,b]上既有最大值,又有最小值. (　　) (2)函数的极值可以有多个,但最大(小)值最多只能有一个. (　　) (3)最大(小)值一定是函数的极大(小)值. (　　) (4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值. (　　) 2.函数f(x)=x+在区间[-3,-1]上的最大值为(　　). A.-2 B.-3 C.- D.- 3.函数f(x)=x3-3x2+6x-10在区间[-1,1]上的最大值为　　　　.  4.求函数f(x)=sin 2x-x在-,上的最大值和最小值. 【合作探究】 探究1　函数的最值 　　问题1:y=f(x)在区间[a,b]上的函数图象如图所示.显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗? 问题2:在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,想一想,在[a,b]上一定存在最值和极值吗?在区间(a,b)上呢? 问题3:函数的极值与最值的区别是什么? 新知生成 1.函数的最值 (1)一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函数的最值点一定是某个　极值点　;  (2)如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是　区间端点a或b　,要么是　极值点　.  2.求函数的最值时,应注意以下几点: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值,开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值). 新知运用 例1　求函数f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最大值与最小值. 【方法总结】　　1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤: (1)求函数f(x)的导函数f'(x); (2)计算函数f(x)在区间(a,b)内使得f'(x)=0的所有点的函数值以及端点的函数值f(a)与f(b); (3)比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值. 2.求一个函数在无穷区间(或开区间)上的最值与在闭区间上的最值的方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值. 求下列函数的最值. (1)f(x)=2sin x-x,x∈-,;(2)f(x)=(x2-3)ex. 探究2　含参函数的最值问题 例2　已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a). (1)若f'(1)=5,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值. 【方法总结】　　对于含参函数的最值问题,由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,故解决此类问题时可通过导函数值为0时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定. 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值. 探究3　由函数的最值求参数问题 例3　已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由. 【方法总结】　　已知函数的最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断