8.6 空间直线、平面的垂直-2023-2024学年高一数学下学期（人教A版2019必修第二册）

空间直线、平面的垂直 1线面垂直 ① 直线与直线垂直 (1) 异面直线所成的角 (i) 范围:； (ii) 作异面直线所成的角:平移法. 如图，在空间任取一点，过作，则所成的角为异面直线所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角. (2) 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线相互垂直. ② 直线与平面垂直 (1) 定义 若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面. 符号表述:若任意都有，则 (2) 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. (线线垂直线面垂直) (3) 性质 (线面垂直线线垂直) 垂直同一平面的两直线平行 (4) 证明线面垂直的方法 · 定义法(反证) · 判定定理(常用) · · · (面面垂直线面垂直) ③ 线面所成的角 (1) 定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. (2) 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 2 面面垂直 ① 二面角 (1) 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. (2) 范围 二面角的平面角的取值范围是. ② 面面垂直 (1) 定义 若二面角的平面角为，则； (2) 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) (3) 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. (面面垂直线面垂直) 【题型1】 线面垂直的判定与性质 【典题1】 （多选）如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，的中点，点在棱上，要使平面，则的值可能是( ) A. B. C. D. 【典题2】直三棱柱中，点为棱的中点，. (1)求证: 平面； (2)求证: 平面； (3)判断是否存在经过的平面满足，并说明理由. 【巩固练习】 1.(★★)如图，在三棱锥中，平面的中点，则下列结论错误的是( ) A. 平面 B. C. 平面 D. 平面 2.(★★) 如图所示，在斜三棱柱中，，且，过平面，垂足为，则点在( ) A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 内部 3.(★★★)(多选)在四棱锥中，底面是菱形，在底面上的射影 在线段上，则 A. B. C. 平面 D. 平面 4.(★★★)如图，在正三棱锥中，为底面的中心，点在线段上，且，若平面，则实数 . 5.(★★★)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，为底面的边 的中点，且平面. (1)设为上底面的重心，试在平面内作出过点与平面平行的直线，并说明理由； (2)证明: (1)中的直线平面. 6.(★★★★)如图甲，在平面五边形中，，垂足为，将折起(如图乙)，使得平面平面. 甲 乙 (1)求证: 平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面 ? 若存在，求的值； 若不存在，请说明理由. 【题型2】 面面垂直的判定与性质 【典题1】 （多选）如图，正三棱锥的底面边长是侧棱长的 倍，分别是的中点，的中点，且，则下列结论中正确的是( ) A.平面平面 B.平面平面 C.平面平面 D.平面平面 【典题2】如图，在直棱柱中，底面是菱形，，分别是棱的中点. (I)求证: ； (II)求证: 平面； (III)若平面平面，求的值. 【巩固练习】 1.(★★) 如图，在三棱锥中，若的中点，则下列命题中正确的有　 　 (写出全部正确命题的序号). (1)平面平面； (2)平面平面； (3)平面平面，且平面平面； (4)平面平面，且平面平面. 2.(★★)已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为　 　． 3.(★★★) 已知直三棱柱的侧棱长为. 过的中点作平面与平面垂直，则所得截面周长为　 　． 4.(★★★)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧