8.5 空间直线、平面的平行-2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

空间直线、平面的平行 1 线面平行 ① 直线与直线平行 基本事实 平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理) 符号表述： 等角定理 如果空间中两个角度两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ② 直线与平面平行 (1) 定义 直线与平面无交点. (2) 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. (俗说：若，要证明，则在平面内找一条直线与直线平行) 符号表述 (线线平行线面平行) (3) 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号表述 (线面平行线线平行) (4) 证明线面平行的方法 定义法(反证) (用于判断) 判定定理： (线线平行线面平行) (面面平行线面平行) 2面面平行 ① 定义：; 判断 内有无穷多条直线都与平行 ； 内的任何一条直线都与平行 ； ②判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述： 【如图】 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行. 符号表述： 【如图】 ③ 面面平行的性质 (面面平行线面平行) (面面平行线线平行) 夹在两个平行平面间的平行线段相等. ④ 证明面面平行的方法 定义法； 判定定理及推论(常用) 【题型1】线面平行的判定 【典题1】 (多选)在下列四棱锥中，底面为平行四边形，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有 A. B. C. D. 【巩固练习】 1.(★★) 在三棱锥中，分别是的重心，以下与直线平行的是( ) A. 直线 B.平面 C.平面 D.平面 2.(★★★)如图甲，在梯形中，分别为的中点，以为折痕把折起，使点不落在平面内(如图乙)，那么在以下 3 个结论中，正确结论的个数是( ) (1) 平面； (2) 平面； (3) 平面. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.(★★★)如图，已知正方体分别为的中点，点在上底面 (含边界)上运动. 请补充一个恰当条件，当点满足 条件时，有平面. 【题型2】 线面平行的性质 【典题1】 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，的中点，上，，若平面，则的值为 . 【巩固练习】 1.(★★) 如图，已知圆锥的顶点为为底面圆的直径，点为底面圆周上的点，并将弧三等分，过作平面，使，设交于点，则的值为( ) A. B. C. D. 2.(★★) 如图所示，为所在平面外一点，的中点，上一点，当平面时， . 3.(★★★)在正四棱台中，，，若平面，则 . 【题型3】 面面平行的判定和性质 【典题1】 如图，在多面体中，平面平面，且，则 A. 平面 B. 平面 C. D.平面平面 【典题2】如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为 . 【巩固练习】 1.(★★★) 如图，在三棱柱中，已知点分别在上，且经过的重心，点分别是的中点，且 四点共面，则下列结论错误的是( ) A. B. 平面 C. D.平面平面 2.(★★) 如图，平面平面，平面，平面，则 . 3.(★★★)如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面正方形内一点(含边界)，若平面，则线段长度的取值范围是 . 4.(★★★★)在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面 ，则下列说法正确的是( ) A.点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C.点的轨迹是正方形 D.点轨迹的长度为 【题型4】 综合解答题 【典题1】 如图，在几何体中，已知四边形是正方形，，分别为的中点，上靠近点的四等分点. (1)证明: 平面.(2)证明:平面平面. 【典题2】如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点. (1)证明: 平面； (2)点为底面四边形内的