6.2.3向量的数乘运算（第1课时）学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

向量的数乘运算 学习目标 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算. 2.类比实数乘法运算律，推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义. 3.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 学习活动 目标一：通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算. 任务：利用向量的加法法则，作出和向量，小组讨论下列问题，理解平面向量数乘的概念. 如图，已知非零向量，作出向量和. 问题: 1观察图象，与初向量相比，向量长度和方向分别是怎样？ 2. 向量与初向量相比，长度和方向又分别是怎样？ 【归纳总结】 思考：如果把非零向量的长度伸长为原来的3.5倍，方向不变，得到向量，向量该如何用向量表示？它们之间的关系是怎样的？ 练一练 　　 A．0 B． C． D． 目标二：类比实数乘法运算律推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义. 任务1：类比实数乘法的运算律，探究向量数乘的运算律. 问题： (1)实数乘法的运算律有哪些？如何用数学语言表示？ (2)同学们猜想向量数乘运算律有哪些？如何证明？ 【归纳总结】 练一练 关于向量，下列结论错误的是　　 A. B． C． D． 任务2：根据向量数乘的运算律，讨论下列各类运算律下其向量数乘的几何意义. 设是实数，那么 结合律： ①； 分配律： ②， ③. 【新知讲解】 1.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 2.对于任意向量，以及任意实数，恒有. 练一练 如图，正方形中，点是的中点，点是的靠近的三等分点．那么　　 A． B． C． D． 学习总结 任务：根据关键词“向量数乘”，构建知识导图. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$向量的数乘运算 学习目标 1.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算. 2.类比实数乘法运算律,推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义. 3.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 学习活动 目标一:通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算. 任务:利用向量的加法法则,作出和向量,小组讨论下列问题,理解平面向量数乘的概念. 如图,已知非零向量,作出向量和. 问题: 1观察图象,与初向量相比,向量长度和方向分别是怎样? 2.向量与初向量相比,长度和方向又分别是怎样? 参考答案: 1.如图,因为,长度是原来的3倍,方向相同. 2. 如图,因为,长度是原来的3倍,方向相反. 【归纳总结】 1. 向量的数乘:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作. 其中,它的长度与方向规定如下: (1) ; (2) 当时,的方向与方向相同;当,的方向与方向相反; (3) ;. 注:数与向量的乘积仍是向量. 思考:如果把非零向量的长度伸长为原来的3.5倍,方向不变,得到向量,向量该如何用向量表示?它们之间的关系是怎样的? 参考答案: =3.5,向量与向量方向相同,长度是的3.5倍. 练一练 A.0 B. C. D. 参考答案: 由于实数与向量的乘积仍为向量,且模长等于实数与向量模长的乘积,所以,故选:B. 目标二:类比实数乘法运算律推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义. 任务1:类比实数乘法的运算律,探究向量数乘的运算律. 问题: (1)实数乘法的运算律有哪些?如何用数学语言表示? (2)同学们猜想向量数乘运算律有哪些?如何证明? 参考答案: (1)①交换律:;②结合律:;③分配律:. (2)结合律:①;分配律:②,③. 证明:结合律①: 当或或时,结合律成立; 当,且时,由向量数乘运算的定义,得,,所以,当同号时,结合律中等式两边的向量符号与向量方向相同,当异号时,结合律中等式两边的向量符号与向量方向相反.因此,向量是相等向量. 证明:分配律②: 当或或时,②式显然成立; 当,且时,可分如下两种情况: 当同号时,的方向与方向相同,所以,即,由同号,知②式两边向量的方向都与方向相同,或都与方向相反,即②式两边向量的方向相同.所以②式成立. 当异号时,当,知②式两边向量的方向都与方向相同,当,知②式两边向量的方向都与方向相同,所以②式两边向量的方向相同.所以②式成立. 证明:分配律③: 当向量共线,或时,③式显然成立. 当向量不共线,且时,可分为如下两种情况: 当时,如图,在平面内任取一点,作则 由作法知,有,,,所以,因此∽,所以,,因此在同一条直线上,,的方向相同,所以,所以. 当时,亦可证得. 综上:. 【归纳总结】 设是实数,那么 结合律: ; 分配律: , . 特别地,我们有,; 练一练 关于向量,下列结论错误的是 A. B. C. D. 参考答案: 解:,故A错误; ,故B正确, ,故C正确; ,故D正确; 故选:A. 任务2:根据向量数乘的运算律,讨论下列各类运算律下其向量数