5.5 三角函数模型的简单应用 学案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

5.5　三角函数模型的简单应用 【学习目标】 1.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(数学建模) 2.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.(数学建模、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.函数y=Asin(ωx+φ)+B是不是周期函数? 2.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述? 3.在建模过程中,怎样判断是用正弦函数模型还是用余弦函数模型? 4.生活中有哪些事物的变化规律符合三角函数的特征? 自学检测 1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin100πt+,则当t=时,电流为　　　A.  2.某简谐运动的图象如图所示,则这个简谐运动需要　　　s往返一次.  【合作探究】 探究1：　三角函数模型在实际问题中的应用 情境设置 　　如图,某地夏天8~14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,0<φ<. 问题1:8~14时的最大用电量为多少万千瓦时?最小用电量为多少万千瓦时? 问题2:这段曲线的函数解析式是什么? 新知生成 解三角函数应用问题的基本步骤 新知运用 例1　已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ). (1)如图所示,这是I=Asin(ωt+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式; (2)如果t在任意一段的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少? 方法指导　已知三角函数图象解决应用问题,首先由图象确定三角函数的解析式,其关键是确定参数A,ω,φ,同时在解题中注意各个参数的取值范围. 【方法总结】利用三角函数处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 例2　随着人们物质和文化生活水平的提高,旅游业也逐渐兴旺起来.经过调查研究,在某个风景区,每年到访的游客人数会发生周期性的变化.现假设该风景区每年各个月份游客的人数(单位:万人)φ(n)可近似地用函数φ(n)=10[Acos(ωn+2)+k]来刻画.其中,正整数n表示月份且n∈[1,12],例如n=2表示二月份,A和k是正整数,ω>0.统计发现,风景区每年各个月份游客人数有以下规律: ①每一年相同的月份,该风景区游客人数大致相同; ②该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约400000人; ③二月份该风景区游客大约为100000人,随后逐渐增加,八月份达到最多. (1)试根据已知信息,确定一个符合条件的φ(n)的表达式; (2)一般地,当该地区游客超过400000人时,该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”.那么,一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”? 方法指导　(1)由实际问题的周期性且周期为12、淡旺季数据,结合数学模型即可求ω,A,k,进而可得表达式;(2)由(1)结合已知条件φ(n)>40即可求出n的范围,结合实际条件即可知旺季所含月份. 【方法总结】在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活地运用三角函数的图象和性质进行解答. 巩固训练 如图,某动物种群数量1月1日(t=0时)低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化. (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位); (2)估计当年3月1日的动物种群数量. . 探究2：数据拟合建立三角函数模型 新知生成 拟合函数模型的主要类型 拟合模型的组建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析和选择恰当的数学表达式而得到的,它的实质是数据拟合的精度和数学表达式简化程度间的折中,拟合模型的主要类型如下: (1)经验模型:主要探讨变量间的内在规律,允许出现一定的误差,模型将侧重于选择规律简单的数学表达式,在简单的数学表达式中选择拟合效果好的. (2)插值模型:此模型以拟合效果为主,要求精确地拟合观测数据,即在观测点之间插入适当的数值. 新知运用 例3　下表是某地某年月平均气温(华氏): 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 　　以月份为x(x=月份-1)轴,以平均气温为y轴. (1)描点作图,用正弦曲线去拟合这些数据. (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A. (3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据? ①=