专题05复数十个重难点归类-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第二册）

专题05复数 一、数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 二、复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 3.复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即. 如果,那么是一个实数,它的模就等于 4.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共复数也叫做共轭虚数. （2）表示：复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 利用这个性质,可以证明一个复数是实数. 三、复数的加减运算 1.复数的加减运算 （1）运算法则:设,则 （2）加法运算律： 对任意，有 交换律 结合律 2.复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 四、复数的乘除运算 1.复数的乘法法则 设是任意两个复数,则 2.复数的乘法的运算律 对于任意,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3.复数的除法法则 设,且,则. 注:. 4.在复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式 （1）当时,;（2）当时, 【重难点01复数的分类】 例1．若复数是实数，则实数 . 例2．实数m取什么值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 【跟踪练习】 练习1．在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 练习2．已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论： . 练习3．当实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 练习4．已知复数，，其中R，问m为何值时． 【重难点02复数相等】 例3．已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 例4．已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解. 【跟踪练习】 练习1．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习2．已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 练习3．已知，，则“”是“”的 条件． 练习4．已知，，若，求实数的值． 【重难点03复数的加减乘除】 例5．复数 . 例6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 练习2．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 练习3．复数z满足，（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 练习4．已知复数（i是虚数单位），则的共轭复数是 ． 【重难点04复数的乘方运算】 例7．i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数（    ）． A． B． C． D． 例8．若复数，则（    ） A． B． C． D．0 有如下性质：如果，那么有 【跟踪练习】 练习1．设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 练习2．已知复数，则 . 练习3．若复数，则 . 练习4．计算： ； 【重难点05复数的几何意义】 例9．在复平面内，复数与对应的向量分别是与，其中O是原点，则两点间的距离为 . 例10．已知复数，且，