3.1.3 简单的分段函数 学案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

3.1.3　简单的分段函数 【学习目标】 1.通过具体实例了解简单的分段函数.(数学抽象) 2.掌握分段函数的作图技巧.(直观想象) 3.提高应用函数解决实际问题的能力,渗透分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法.(数学建模) 【自主预习】 预学忆思 1.什么是分段函数? 2.函数y=是分段函数吗?它是一个函数还是两个函数? 3.如何画分段函数的图象? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成. (　　) (2)分段函数有多个定义域. (　　) (3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线. (　　) (4)函数f(x)=|x|可以用分段函数表示. (　　) 2.已知f(x)=则f(f(-7))的值为(　　). A.100　　　　　　　B.10 C.-10 D.-100 3.f(x)=|x-1|的图象是(　　). 4.函数y=的定义域为　　　　　　,值域为　　　　　 .  【合作探究】 探究1：分段函数及其求值 情境设置 　　问题1:集合A=R,B=,A中的有理数都对应B中的元素0,无理数都对应B中的元素1,这一对应是函数吗? 问题2:分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同,那么分段函数的定义域和值域分别是什么? 新知生成 　　分段函数 一般地,如果自变量在定义域的不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数叫作分段函数. 新知运用 例1　已知f(x)= (1)求f(0),f(f(-1))的值; (2)若f(x)=2,求x的值. 方法指导　(1)利用分段函数的解析式直接计算即可;(2)讨论x的范围,列式求解. 【方法总结】1.分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求解.对于含有多层“f”的问题,要按照“由内到外”的顺序,逐层处理. 2.已知函数值,求自变量的值时,要先将“f”脱掉,转化为关于自变量的方程求解. 巩固训练 　　已知函数f(x)= (1)若f(x0)=8,求x0的值; (2)解不等式f(x)>8. 探究2：分段函数的图象 情境设置 　　问题1:函数f(x)=|x-2|能用分段函数的形式表示吗? 问题2:画出函数f(x)=|x-2|的图象. 新知生成 　　对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象. 新知运用 例2　画出函数f(x)=|2x-1|+|2-x|的图象. 巩固训练 　　已知f(x)=x2-2|x|+2. (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出f(x)在区间[-1,3]上的图象; (3)根据图象写出f(x)在区间[-1,3]上的值域. 探究3：分段函数的应用 情境设置 　　如图,该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家,15时回到家.根据这个曲线图,请你回答下列问题: 问题1:他最初到达离家最远的地方是什么时间?离家多远? 问题2:他何时开始第一次休息?休息了多长时间? 问题3:他在9:00~10:00和10:00~10:30的平均速度分别是多少? 问题4:他在哪段时间里停止前进并休息用午餐? 问题5:这是什么函数模型? 新知生成 　　运用函数知识解决实际问题的一般步骤: (1)阅读材料、理解题意; (2)把实际问题抽象为函数问题,并建立相应的函数模型; (3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究,得出数学结论; (4)把数学结论(结果)运用到实际问题中,解决实际问题. 新知运用 例3　某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,A俱乐部每块场地每小时收费6元;B俱乐部按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元,超过20小时的部分,每块场地每小时2元.某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时. (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)(12≤x≤30)元,在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)(12≤x≤30)元,试求f(x)与g(x)的解析式. (2)该企业选择哪家俱乐部比较划算?为什么? 【方法总结】分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画. (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式. 巩固训练 如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为2.当垂