精品解析：北京市清华大学附属中学朝阳学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年第二学期月考试卷 高一数学 （清华附中朝阳学校、望京学校） 2024年3月 一、选择题（每小题只有一个答案，每小题4分，共40分） 1. 已知向量，则（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 1或者2 2. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 3. 已知，，，则与夹角的余弦值为（ ） A. －1 B. C. 0 D. 1 4. 向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. -4.5 D. -3 5. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，为的重心，满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 7. 为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ） A B. C. D. 9. 在中，，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰（非等边）三角形 10. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 已知向量，，且，则________． 12. 在中，.则______. 13. 如图，矩形中，，E是中点，则_________． 14. 在中，，M为BC的中点，则_______．（用表示） 15. 如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D．已知湿地夹在公路之间（的长度均超过），且．在公路上分别设有游客接送点E，F，．若要求观景台D建在E，F两点连线的右侧，并在观景台D与接送点E，F之间建造两条观光线路与，，则观光线路与之和最长为___________． 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为，，且.若点D是外一点，，，下列说法中，正确的命题是______ ①的内角 ②一定等边三角形 ③四边形面积的最大值为 ④四边形面积无最大值 三、解答题（共6个小题，共80分） 17. 已知向量，且向量与共线． （1）证明：； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，求的值． 18. 在中，角的对边分别为． （1）求的值； （2）求边上的高． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，． （1）求的值； （2）求c边及的面积． 20. 在中，角的对边分别为，已知． （1）当时，求的面积； （2）再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，并求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 21. 内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 22. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求： ①，；②，； （2）若向量，求证：； （3）若A，B，C是以О为圆心的单位圆上不同的点，记，，． （i）当时，求的最大值； （ii）写出的最大值．（只需写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期月考试卷 高一数学 （清华附中朝阳学校、望京学校） 2024年3月 一、选择题（每小题只有一个答案，每小题4分，共40分） 1. 已知向量，则（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 1或者2 【答案】D 【解析】 【分析】求出坐标，再根据列方程求解. 详解】由已知， 又， 所以， 解得1或者2 故选：D. 2. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设， 结合余弦定理：可得：， 即：，解得：（舍去）， 故. 故选：D. 【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 3. 已知，，，则与夹角的余弦值为（ ） A. －1 B. C. 0 D. 1 【答案