6.3 平面向量基本定理及坐标表示（课时2 平面向量的正交分解及其加、减运算的坐标表示）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3平面向量基本定理及坐标表示 第六章 平面向量及其应用 课时2 平面向量的正交分解及其加、减运算的坐标表示 探究一：平面向量的正交分解及坐标表示 问题1：物理上是怎样对力进行分解的? 情境设置 【解析】将重力G可以分解为两个分力： 平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量． 作用：在平面中，如果取相互垂直的向量作为基底，将为我们研究问题带来极大的方便. 2 探究一：平面向量的正交分解及坐标表示 问题2：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢? 情境设置 【解析】分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底，则有且只有一对实数，使得，这样平面内的任一向量都可由唯一确定.这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标记作 ① 其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 3 新知生成 知识点一 平面向量的正交分解 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解. 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,设与 𝑥 轴、𝑦 轴方向______的两个______向量分别为𝒊, 𝒋,取{𝒊,𝒋}作为______.对于平面内的任意一个向量𝒂 ,由平面向量基本定理可知,有且仅有一对实数 𝑥 , 𝑦 ,使得 𝒂=𝑥𝒊+𝑦𝒋 .我们把有序数对______叫作向量𝒂的坐标,记作 𝒂=(𝑥,𝑦),其中𝑥叫作𝒂在𝑥轴上的坐标, 𝑦叫作𝒂在𝑦轴上的坐标, 𝒂=(𝑥,𝑦)叫作向量𝒂的坐标表示.注意： . 相同 单位 基底 4 新知生成 知识点一 平面向量的正交分解 3.向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中,以原点𝑂为起点作 ,设,则向量的坐标(𝑥,𝑦)就是_______的坐标;反过来,终点𝐴的坐标(𝑥,𝑦)也就是向量的坐标. 特别提醒：(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式,只是两个基向量 和 互相垂直. (2)由向量坐标的定义,知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等,即 𝒂=𝒃⇔且 ,其中 𝒂=(, ) , 𝒃=(, ). (3)向量的坐标只与向量的起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关. (4)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变. 终点A 5 一、平面向量的正交分解 例题1 如图,在平面直角坐标系中, , , , , , ，四边形为平行四边形.求向量 , 的坐标. 【解析】如图，作 轴于点 ,则 , , , . , , . 又 , , , 即 . 6 反思感悟 方法总结 求点、向量坐标的常用方法 (1)求点的坐标：可利用已知条件,求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该 坐标就等于相应点的坐标. (2)求向量的坐标：先求出这个向量的起点、终点坐标,再用终点坐标减去起点坐 标即得该向量的坐标. 7 新知运用 跟踪训练1 如图，分别用基底表示向量，你能求出它们的坐标吗? 【解析】在平面直角坐标系 中， 8 探究二：平面向量的坐标运算 设，分别是与轴、轴同向的两个单位向量,若， ，则， . 情境设置 问题：根据向量的线性运算性质,分别用基底 𝒊 ， 𝒋 表示向量 𝒂+𝒃 , 𝒂−𝒃 . 【解析】 , . 9 新知生成 知识点二 平面向量的坐标运算 设向量，，则有 1.向量的加法： 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 2.向量的减法： 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 3.重要结论：已知点 , ，则 ，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 10 二、平面向量加、减运算的坐标表示 例题2 (1)已知点，，向量，则向量 ( ). A. B. C. D. (2)已知，求的坐标． 【解析】 (1)设 ，则 ，即 ， ，故 ，则 . (2). A 11 反思感悟 方法总结 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标 运算. 12 新知运用 跟踪训练2 如图，在中， 为一条对角线，若，，求的坐标. 【解析】 ，