专题7.2 复数的四则运算（4知识点+15考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题7.2 复数的四则运算 知识点一 复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i. ②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. ③＝＋i(z2≠0)． 知识点二 复数加、减法的几何意义相等 加法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数 减法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 知识点三 复数的运算律 相等 (1)复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) (2)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 知识点四 常用结论与知识拓展 1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，其中n∈N*. 3．z×＝|z|2＝||2，|z1z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n. 4．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 考点01 复数的加法、减法运算 【典例1】（2024高一下·全国·专题练习）已知，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】（2024·内蒙古包头·一模）设复数z满足，，复数z所对应的点位于第四象限，则（    ） A． B． C． D． 考点02 复数加法、减法的几何意义 【典例3】（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知复数满足，且，求. 【典例4】（2024高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 考点03 根据复数的加法、减法求参数 【典例5】（22-23高三上·浙江·开学考试）若，则的实部可能是（    ） A．3 B．1 C． D． 【典例6】（2024高一下·全国·专题练习）实数x，y满足，且，则的值是 . 考点04 根据复数加法、减法的运算确定复数的特征 【典例7】（22-23高一下·四川眉山·期中）复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例8】（20-21高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若复数，，，则 . 考点05 复数的乘法与乘方 【典例9】（2024·陕西·二模）复数的虚部为（    ） A．4 B． C． D． 【典例10】（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知复数，则 . 考点06 根据复数的乘法运算确定复数的特征 【典例11】（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）已知复数的实部为2，且，则虚部为（　　） A． B． C． D． 【典例12】【多选题】（22-23高二下·福建福州·期末）已知复数，其共轭复数为，则（    ） A．的实部与虚部之和为 B． C．是纯虚数 D． 考点07 复数范围内实系数一元二次方程的根 【典例13】（2024·浙江·模拟预测）已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例14】（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，且． (1)求m的值； (2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 【总结提升】 1.注意应用“求根公式”. 2.实系数一元二次方程的复数根成对出现，且互为共轭复数. 考点08 复数范围内分解因式 【典例15】（22-23高一下·上海嘉定·期末）在复数范围内分解因式= . 【典例16】（22-23高一·全国·课后作业）在复数范围内因式分解： ． 【总结提升】 1.平方和分解因式问题，注意应用i2=-1转化成“平方差”. 2.二次三项式因式分解问题，注意应用“求根公式”. 考点09 复数的平方根与立方根 【典例17】（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例18】（22-23高一·全国·课后作业）所有的三次方根为 ． 【总结提升】