专题7.1 复数的概念（7知识点+10考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题7.1 复数的概念 知识点一 复数 把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. i2=-1．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，其中n∈N*. 复数集：全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R} 知识点二 复数相等 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R 知识点三 复数分类 相等 复数z＝a＋bi 知识点四 共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi 知识点五 复平面 相等 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 知识点六 复数的模 的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离 知识点七 复数的几何意义 为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 互为共轭复数的两个复数对应的点，关于实轴对称. 考点01 虚数单位i及其性质 【典例1】（22-23高一下·河北张家口·阶段练习） . 【典例2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 考点02 复数的实部、虚部 【典例3】（2024高一下·全国·专题练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【典例4】（2024高一下·全国·专题练习）复数i，求实数的值. 【总结提升】 解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 考点03 复数的相等及其应用 【典例5】【多选题】（2024高一·全国·专题练习）若，，且，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【典例6】（2024高一·全国·专题练习）已知，其中，，为虚数单位．则实数 ， ． 【总结提升】 两个复数相等的充要条件是：两个复数的实部和虚部分别相等． 考点04 根据复数的类型求参数 【典例7】（22-23高一·全国·课堂例题）实数m取什么值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【典例8】（2024高三·全国·专题练习）已知m∈R，复数z＝＋（m2＋2m－3）i，当m为何值时： (1)z∈R? (2)z是虚数？ (3)z是纯虚数？ 【总结提升】 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可）． 考点05 复数的几何表示 【典例9】（22-23高一下·河南开封·阶段练习）若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（　　） A． B． C． D． 【典例10】（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是 ． 【总结提升】 复数z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面内的点Z(a，b)一一对应；复数z＝a＋bi与平面向量一一对应，其中a，b∈R. 考点06 写出点对应的复数 【典例11】（23-24高三上·北京·阶段练习）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　） A． B． C． D． 【典例12】（2010·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点分别为.若为线段的中点，则点 对应的复数是 A． B． C． D． 考点07 判断复数对应的点所在象限 【典例13】（2024高二上·广东·学业考试）设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例14】（2023·四川南充·一模）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【总结提升】 复数z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面内的点Z(a，b)一一对应；复数z＝a＋bi与平面向量一一对应，其中a，b∈R.所以，对应点所在象限由(a，b)确定.第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）. 考点08 根据复数对应点所在象限求参数 【典例15】（22-23高一下·陕