2024年九年级中考数学一轮复习课件 第三章函数 3.4二次函数的应用

3.5　二次函数的实际应用 2024/4/3 1 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 二次函数的实际应用 1．利用二次函数解决实际问题的一般步骤 (1)审：审清题意，理解问题； (2)找：分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； (3)列：用函数解析式表示它们之间的关系(建立数学模型)； (4)解：用数学方法求解； (5)验：检验结果的合理性； (6)答：写出问题的答案． 2．常见题型 (1)最值问题：在日常生活中，经常遇到求某种图形的最大面积、获取最大经济利润、怎样最节省开支等问题，利用二次函数的图象和性质，便可以解决这类问题，这就需要把这类问题转化为求二次函数的最值问题．解决该类问题的一般步骤为： (ⅰ)找：找题目中的数量关系； (ⅱ)列：列出函数关系式； (ⅲ)求：利用配方法将表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式或利用公式法确定最值． (2)抛物线形问题：在实际生活中常遇到以下抛物线形问题：拱形桥洞、涵洞、隧道、拱形门、球类的运动路线、跳水运动员的跳水路线等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系，用待定系数法确定函数表达式，进而解决问题． 二次函数与几何图形的综合应用 (1)根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； (2)根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； (3)利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题. 考点一　面积问题 典例1　(2023·天津)如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一 边AD是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD用 篱笆，且这三边的和为40 m，有下列结论：①AB的长可以为6 m　 ②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2　③菜园 ABCD面积的最大值为200 m2.其中，正确结论的个数是(　 　) A．0 B．1 C．2 D．3 思路导析　设AB的长为x m，矩形ABCD的面积为y m2，则BC的长为(40－2x) m，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据BC的长不能超过26 m，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 1．(2023·大庆)某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF∶BF＝3∶4，点G，H，F分别是边AB，AC，BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米(图中所有黑线的长度和)，设BF＝x米，BE＝y米． (1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变 量x的取值范围； (2)当x为多少时，窗户透过的光线最多(窗 户的面积最大)，并计算窗户的最大面积． 解：(1)∵四边形BCDE是矩形， ∴BC∥DE， ∵BE∥IJ∥MN∥CD， ∴BE＝IJ＝MN＝CD＝y. ∵AB＝AC，点F是边BC的中点， ∴BC＝DE＝2x，AF⊥BC， ∵AF∶BF＝3∶4， ∴AF＝ ，∴AB＝AC＝ ∵点G，H，F分别是边AB，AC，BC的中点， ∴FG＝FH＝ ∴4y＝16－2x×2－ ∴4y＝16－ ， ∴y＝4－ ， ∵ ∴0<x< ，∴y＝4－ ； (2)设窗户面积为S， 则S＝ ＝8x－ x2 ＝ ∴当x＝ 米时，窗户透过的光线最多(窗户的面积最大)， 最大面积为 平方米． 2．(2023·徐州)如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y. (1)求y关于x的函数表达式； (2)当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10? (3)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若 存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵在正方形纸片ABCD上剪去4个全等的直角三角形， ∴∠AHE＝∠DGH，∠DGH＋∠DHG＝90°，HG＝HE， ∵∠EHG＝180°－∠AHE－∠DHG， ∠EHG＝90°，四边形EFGH为正方形， 在△AEH中，AE＝x，AH＝BE＝AB－AE＝4－x，∠A＝90°， ∴HE2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16， ∴正方形EFGH的面积y＝HE2＝2x2－8x＋16； ∵AE，AH不能为负，∴0≤x≤4， 故y关于x的函数表达式为y＝2x2－8x＋16(0≤x≤4)； (2)令y＝10，得2x2－8x＋16＝10， 整理，得x2－4x＋3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， 故当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10； (3)存在． 正方形EFGH的面积y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8(0≤x≤4)， ∴当x＝2时，y有最小值8，即四边形EFGH的面积最小为8.