专题19.2 中位线定理与几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题19.2 中位线定理与几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 · 典例分析 【典例1】知识回顾：（1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，如图1，点，分别为边，的中点，则线段称为的中位线，则与的位置关系是 　　；与的数量关系是 　　． 方法探究：（2）请将图2中的三角形通过剪切拼接成一个与之面积相等的平行四边形，若要求只有一条剪切线，请画出剪切线及剪拼成的平行四边形，并说明拼接方法． 问题解决：（3）如图3，有一块空地和水井，李大爷计划利用该空地和水井修建一片菜地，其中点为的中点，，，，．为灌溉方便，李大爷想在水井处修建一条水渠为线段，且在上），且水渠两边的菜地面积相等，已知修建该水渠的费用为60元，请你帮助李大爷计算修建这条水渠所需的总费用． 【思路点拨】 （1）根据三角形中位线定理即可求解； （2）取的中点，的中点，连接，延长至，使，由三角形中位线定理可得，，，于是可通过证明，得到，进而得到，由对边平行且相等的四边形为平行四边可得四边形为平行四边形，以此即可求解； （3）取的中点，连接，作交于点，交于点，过点作于点，过点作于点，由梯形的面积公式可知，易得四边形，四边形为平行四边形，得到，，由四边形内角和为得，由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理得，由含的直角三角形性质得，，则，易得为的中位线，则，，进而求得，再利用勾股定理求出的长，进一步算出总费用即可求解． 【解题过程】 解：（1）点，分别为边，的中点， 为的中位线， ，； 故答案为： ，； （2）如图，取的中点，的中点，连接，延长至，使， 点，分别为边，的中点， 为的中位线， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 取的中点，的中点，以为剪切线将三角形裁剪，将绕点顺时针旋转至点与点重合，则四边形为拼成的平行四边形； （3）取的中点，连接，作交于点，交于点，过点作于点，过点作于点， ， 四边形为梯形， 由梯形的面积公式可知，， ，， 四边形，四边形为平行四边形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， 点为的中点， 为的中位线， ，， ， 在中，， 修建该水渠的费用为60元， 修建这条水渠所需的总费用为（元． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点是的边上一点（），点关于，的对称点分别为，连接，，，且经过点． （1）求证：点是的中点； （2）如图2，连接，，求证：； （3）在（2）的条件下，延长到点使，连接交于点，连接，，若，当时，求的长． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图，和都是等腰直角三角形，，点分别在边上，连接，点分别为的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系． 问题探究： （1）甲小组发现：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点逆时针方向旋转到如图的位置，请判断的形状并证明； 问题拓展： （3）两小组的同学继续探究：把 绕点在平面内自由旋转，当时，直接写出线段长度的最大值．   3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）在中， （ ），于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．    （1）如图1，当点E在线段上，求证：D是的中点； （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长至点G，使得，连接，， ①求证； ②求出的度数． （3）如图3，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，写出的大小，并证明． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图1，已知A，B为直线同侧的两点，点为直线上一点，连接，．若，则称点是点和点关于直线的“等角点”． （1）如图2，是等边三角形的外角，点是该外角平分线上一点，试说明点是点和点关于直线的“等角点”． （2）如图3，点B，C在的两边上，且，连接，点是线段上的一点，点关于的对称点为，连接并延长至点，使点是点和点关于直线的“等角点”．连接，当时，求的度