精品解析：北京市陈经纶中学2023-2024学年高一下学期阶段性诊断（3月）数学试卷

北京市陈经纶中学2023-2024学年高一下学期阶段性诊断（3月） 数学试卷 2024.3 (考试时间60分钟满分100分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A B. C. 1 D. -1 2 已知向量，.若，则向量（ ） A. B. C. D. 3. 中，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（ ） A. 8 B. 12 C. 22 D. 24 5. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知复数满足，则______________. 10. 已知向量，，在坐标纸中的位置如图所示，若每个小方格的边长为1，则____________；____________. 11. 已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都为，灯塔A在观测站C的北偏东方向上，灯塔B在观测站C的南偏东方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为_________． 12. 在中，，，，则__________． 13. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，b＝，,则该三角形的面积等于__________． 14. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积."若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积.给出下列四个结论:①周长为；②三个内角A，C，B满足关系；③外接圆半径为；④中线CD的长为，其中，所有正确结论的序号是___________. 三、解答题共2小题，共30分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 如图，在平面四边形中，，，，，. （1）求值； （2）求，的值. 16. 已知锐角，同时满足下列四个条件中的三个： ①②③④ （1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市陈经纶中学2023-2024学年高一下学期阶段性诊断（3月） 数学试卷 2024.3 (考试时间60分钟满分100分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，可得复数的虚部. 【详解】因为，所以复数的虚部为：. 故选：D 2. 已知向量，.若，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算直接求解可得结果. 【详解】因为， 故选：B 3. 在中，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，再由正弦定理即可得到结果. 【详解】因为，所以， 由正弦定理可得. 故选:A 4. 如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（ ） A. 8 B. 12 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底，表示出向量，，再根据向量数量积运算可得结果. 【详解】易知：，，且，. 由. 故选：C 5. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以，所以三角形是直角三角形. 故选：B 6. 已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】