专题04数列全章复习攻略（考点清单，9种题型典例剖析+考场练兵）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选修）

专题04数列全章复习攻略（考点清单，9种题型典例剖析+考场练兵） 知识点一　数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 思考　数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 答案　 不是．顺序不一样． 知识点二　数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三　函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点四　数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五　通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点六　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 知识点七　数列的前n项和Sn与an的关系 1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ 知识点八　等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 知识点九　等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 知识点十　等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 知识点十一　从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 知识点十二　等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 知识点十三　等差数列的性质 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 知识点十四　等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 知识点十五　等差数列前n项和的性质 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. 4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 知识点十六　等差数列{an}的前