微专题09 巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题 - 2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题09 巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：单模长最值问题 题型二：多模长之和差最值问题 题型三：模长的范围问题 【方法技巧与总结】 求复数模的范围与最值问题是热点问题，其解题策略是： （1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决； （2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答； （3）利用三角函数解决. 【典型例题】 题型一：单模长最值问题 【典例1-1】（2024·高一·江苏苏州·期末）设是虚数单位，若复数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．9 【典例1-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）在复平面内，复数满足，i为虚数单位，则的最小值为 ． 【变式1-1】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知复数满足，则的最小值是 . 【变式1-2】（2024·高一·全国·单元测试）已知，求的最大值和最小值分别为 . 【变式1-3】（2024·高一·全国·单元测试）若|，则的最小值为 . 题型二：多模长之和差最值问题 【典例2-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）已知复数，其中.则的最小值为 . 【典例2-2】（2024·浙江·高一嘉兴一中校联考）已知复数满足，求的最小值______． 【变式2-1】（2024·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的最小值为_________ . 【变式2-2】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型三：模长的范围问题 【典例3-1】（2024·全国·高一专题练习）若，则取值范围是___． 【典例3-2】（2024·高一课时练习）已知复数满足，则的取值范围是______. 【变式3-1】（2024·浙江宁波·高一效实中学校考）已知复数，其中为虚数单位. (1)当，且是纯虚数，求的值； (2)当时，求的取值范围. 【变式3-2】（2024·山西晋中·高二榆次一中校考开学考试）已知z为复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·全国·高三专题练习）复数z满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．（2024·高一·广东广州·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式被称为欧拉公式．根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 2．（多选题）（2024·高一·海南省直辖县级单位·期末）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．点的坐标为 B．（为的共轭复数） C．的最大值为 D．的最小值为 3．（多选题）（2024·高一·河北石家庄·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若复数满足，则 C．若，则复数一定为实数 D．若复数满足，则最大值为 4．（多选题）（2024·高一·广东东莞·阶段练习）设z为复数，则下列命题中正确的是（　　） A． B． C．若，则的最大值为2 D．若复数，则 5．（多选题）（2024·高一·江苏无锡·期末）（多选）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．若复数z满足，则 B．若复数、满足，则 C．若，且，则 D．若，则的最大值为 6．（多选题）（2024·高一·重庆江津·期末）已知复数，，则（    ） A． B．若，则的最大值为2. C． D．在复平面内对应的点在第二象限 7．（2024·高一·江苏盐城·阶段练习）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z对应的点为点，则点与点之间距离的最小值 8．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为 ． 9．（2024·高一·辽宁·期末）已知复数z满足，则的最大值为 ． 10．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）若，且满足，则的最大值为 . 11．（2024·高一·辽宁辽阳·期末）设复数在复平面内对应的点为，若，则的最大值为