重难点07 巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题 （三大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点07 巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：单模长最值问题 题型二：多模长之和差最值问题 题型三：模长的范围问题 【方法技巧与总结】 求复数模的范围与最值问题是热点问题，其解题策略是： （1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决； （2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答； （3）利用三角函数解决. 【典型例题】 题型一：单模长最值问题 【典例1-1】（2024·江西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】（2024·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D．4 【变式1-2】（2024·全国·高一专题练习）已知复数z满足：，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1-3】（2024·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若，则的最大值与最小值的和为___________. 【变式1-4】（2024·高一课时练习）已知复数，求为何值时，取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值． 题型二：多模长之和差最值问题 【典例2-1】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一课时练习）已知复数满足，则的取值范围是______. 【变式2-1】（2024·全国·高三专题练习）若复数满足，则的取值范围是______． 【变式2-2】（2024·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考）已知复数满足，求的最小值______． 题型三：模长的范围问题 【典例3-1】（2024·高三·江苏南通·开学考试）设复数，，其中，若复数为实数，则 ，的范围为 . 【典例3-2】（2024·高一·全国·单元测试）（1），，若，求的取值范围． （2）已知复数，，求的最大值和最小值． 【变式3-1】（2024·全国·高三专题练习）已知复数z满足，则的取值范围是______. 【变式3-2】（2024·全国·高一假期作业）设复数z满足，则的取值范围是_________. 【变式3-3】（2024·全国·高一期末）已知复数z满足，那么的取值范围为_________. 【过关测试】 1．（2024·高三·江苏盐城·阶段练习）已知复数满足，当的虚部取最小值时，（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·河北石家庄·期末）复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024·高一·河南郑州·期末）已知复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 4．（2024·高一·山东菏泽·期末）已知复数，，且，在复平面内对应向量为，，，（O为坐标原点），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·河南濮阳·期末）复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 6．（多选题）（2024·高一·广东清远·阶段练习）已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．点在复平面上的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 7．（多选题）（2024·高三·湖南·阶段练习）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 8．（多选题）（2024·高一·河北张家口·阶段练习）已知为复数，则下列说法中正确的有（    ） A．为实数 B．若复数满足，则 C． D．若，则的最小值为 9．（多选题）（2024·高一·广东湛江·阶段练习）设复数（其中），是z的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．必为实数 D．若，则的最大值为3 10．（2024·高一·全国·专题练习）设是复数且，则的最小值为 . 11．（2024·高一·河南郑州·期末）已知复数和满足，且，则的最小值是 ． 12．（2024·高一