重难点07 巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题 （三大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点07 巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 求复数模的范围与最值问题是热点问题，其解题策略是： （1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决； （2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答； （3）利用三角函数解决. 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高一课时练习）已知复数和，i为虚数单位，求的最大值和最小值． 【解析】复数和，则 由，可得 则的最大值，最小值 题型一：单模长最值问题 典型例题 【典例1-2】（2024·高一课时练习）设复数：满足，求的最大值和最小值． 【解析】因为， 所以； 因为 所以， 解得； 所以的最大值为7，最小值为3． 题型一：单模长最值问题 典型例题 【变式1-1】（2024·高一单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． （1）确定点的集合构成图形的形状； （2）求的最大值和最小值． 【解析】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则，如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 题型一：单模长最值问题 典型例题 【变式1-2】（2024·广东中山·高二中山一中校考）已知复数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】， ∴ 在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆， 的几何意义为圆上的点到的距离， 如图， 的最小值为 ． 故答案为：． 题型一：单模长最值问题 典型例题 【典例2-1】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若， 则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则表示点到三顶点、、的距离之和． 依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且， 则． 此时． 故选：B． 题型二：多模长之和差最值问题 典型例题 【典例2-2】（2024·高一课时练习）已知复数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】复数满足，表示以原点为圆心，以3为半径的圆， 则的表示圆上的点到和的距离， 由图象可知， 当点在处最小，最小为：， 当点在处最大，最大为， 则的取值范围是， 故答案为： 题型二：多模长之和差最值问题 典型例题 【变式2-1】（2024·全国·高三专题练习）若复数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】由于复数满足， 故复数对应的点在圆心为原点，半径为的圆上， 设圆上任意一点的坐标为． 表示圆上的点到和两点距离之和， 即①， ①式平方得， 由于，所以， 所以，所以， 所以． 故答案为：． 题型二：多模长之和差最值问题 典型例题 【变式2-2】（2024·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考）已知复数满足，求的最小值______． 【答案】10 【解析】复数，由， 即， 于是得，整理得，，即， 表示点与点、距离的和， 显然点P在x轴上，而线段AB与x轴相交， 因此，， 当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时取“=”， 所以的最小值是10． 故答案为：10 题型二：多模长之和差最值问题 典型例题 【典例3-1】（2024·全国·高一专题练习）若，则取值范围是___． 【答案】 【解析】由题意设（），则 其几何意义为平面内一动点到两定点，距离之差， 由图可知，当，，三点共线时，距离之差最大，当时，最小， 则． 的取值范围是． 故答案为：． 题型三：模长的范围问题 典型例题 【典例3-2】（2024·全国·高三专题练习）复数z满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数表示复平面上的点z到和的距离之和是4的轨迹是椭圆， 则， 的几何意义是复平面上的点到坐标原点的距离， 所以． 故选：A． 题型三：模长的范围问题 典型例题 【变式3-1】（2024·高三·江苏南通·开学考试）设复数，，其中，若复数为实数，则 ，的范围为 ． 【答案】 ； 【解析】因为，所以， 所以， 因为复数为实数，所以，即， 所以，因为，所以， 因为， 所以， 因为，，所以， 所以． 故答案为：；． 题型三：模长的范围问题 典型例题 【变式3-2】