重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题（三大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： 方法技巧 （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） 03 典型例题 【典例1-1】（2024·全国·高三专题练习）在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点），且，，则的值是 ． 【答案】 【解析】由题意，在中，是BC的中点， ， ∴ ∵，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点），∴，， ∴解得 ∴ ．故答案为：． 题型一：定值问题 典型例题 【典例1-2】（2024·贵州毕节·统考一模）如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点， 则， ， 因此， 故选：B． 题型一：定值问题 典型例题 【变式1-1】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取HF中点O， 则 ， ， 因此，选A． 题型一：定值问题 典型例题 【典例2-1】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A．[0，1] B． C．[1，2] D． 【答案】A 【解析】如图所示： 考虑是线段上的任意一点，，， 圆的半径长为，由于是线段上的任意一点，则， 所以， ． 故选：A． 题型二：范围与最值问题 典型例题 【典例2-2】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，四边形为菱形， ，可得， 在中，由余弦定理得到， 连接和交于点，则点为的中点， 连接，，， 则，， 所以 ． 故选：B． 题型二：范围与最值问题 典型例题 【变式2-1】（2024·四川凉山·统考一模）已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1， 所以正六边形的内切圆的半径为， 外接圆的半径为， 又由 ， 因为，即， 可得， 所以的取值范围是． 故选：B． 题型二：范围与最值问题 典型例题 【变式2-2】（2024·山西·高一统考阶段练习）如图，在中，点是线段上一动点．若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意，，且，， 所以，， 所以， 易知，当时，最小， 所以， 即， 解得， 故的最小值为． 故选：B． 题型二：范围与最值问题 典型例题 【典例3-1】（2024·浙江杭州·高一校联考期末）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，取的中点D， 由极化恒等式可得：， 同理，， 由于， 则，所以， 因为，D是的中点，于是． 故选：D． 题型三：求参问题以及其它问题 典型例题 【典例3-2】（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则 ． 【答案】 【解析】取的中点，取，， ， 因为的最小值，所以． 作，垂足为，如图，则，又，所以， 因为，所以由正弦定理得：，， 所以 ． 故答案为：． 题型三：求参问题以及其它问题 典型例题 【变式3-1】（2024·辽宁·高一东港市第二中学校联考期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则 ． 【答案】 【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O， 如图，， 依题意，， 因的最小值为3，则的最小值为2，因此， 在中，，， 在中，，， 所以 ． 故答案为： 题型三：求参问题以及其它问题 典型例题 【变式3-2】（2024·江苏常州·常州高级中学校考模拟预测）设直角，是斜边上一定点．满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上