9.2.4 总体离散程度的估计 教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 9.2.4总体离散程度的估计 教科书 书 名：普通高中教科书·数学必修第二册（A版）教材 出版社：人民教育出版社 教学目标 1.通过实例，会计算极差、方差、标准差，理解极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义。 2.掌握用样本的离散程度参数估计总体的离散程度的方法，体会样本估计总体的思想，发展数据分析素养。 教学内容 教学重点： 1.方差和标准差的意义与计算。 2.已知两组数据的观测个数、平均数和标准差或方差时，两组数据合并后所有数据的平均数和标准差的计算方法与思想。 教学难点： 1. 已知每组数据个数、平均数和方差，获得各组数据合并后全部数据的方差的计算公式。 2. 计算中的递推思想。 教学过程 一、课堂引入 前面我们学习了总体集中趋势的估计，平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据“中心位置”的重要信息，可以描述一组数据的集中趋势．但有时候仅仅知道“中心位置”不足以让我们做出有效的决策，请看下面的案例． 问题1：有两位射击运动员在一次射击测试中各射击10次，每次命中的环数如下： 甲： 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙： 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价?如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择? 师生活动：学生提出评价标准，教师利用电子表格软件进行计算，并请学生回答如何决策，原因是什么． 通过计算发现甲、乙两名运动品射击成绩的平均数、中位数和众数均为7．但甲运动员10次射击成绩的方差为4，乙运动员10次射击成绩的方差为1.2．由此估计甲运动员成绩的方差，乙运动员成绩的方差．由可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，说明乙比甲的射击成绩稳定． 如果从这两名选手中选择一名参加比塞，要比较他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置．如果两人都排在前面，越稳定越好，可以选择成绩稳定的乙；如果两人的成绩都排在后面，希望比赛时有突出表现，可以选择成绩方差大的甲． 2、 概念回顾 追问：为什么可以运用方差分析两个运动员的射击成绩? 师生活动：学生回答问题，教师引导学生复习方差的定义． 方差的定义：假设一组数据是，用表示这组数据的平均数，我们称 为这组数据的方差． 因为 　　　　　　　　　 所以有时为了计算方差方便，也用上述表达式计算方差． 设计意图：通过案例，帮助学生回忆方差的概念和统计含义． 问题2：除了方差，你还能想到其他刻画一组数据的离散程度的统计量吗? 师生活动：学生思考，讨论并分享，教师引导学生解释这些量的合理性． 预案：(1)极差是数据的最大值与最小值的差，即，可以反映数据的波动范围．在一定程度上，极差越大，数据的离散程度越大；极差越小，数据的离散程度越小．因为极差只用到了数据中的最大值和最小值，对其他的数据没有涉及，所以极差包含的信息量很少． (2)平均距离是每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，即 这与方差的产生思想一样，都是运用“平均距离”刻画数据的离散程度．平均距离越大，数据的离散程度越大；平均偏差越小，数据的离散程度越小．平均距离计算公式中含有绝对值，计算不方便． 设计意图：让学生主动探索多个统计量刻画数据的离散程度，并认识到每个统计量的优缺点． 问题3：问题1中方差的单位是什么? 师生活动：学生发表意见，教师进行评价，引导学生认识到方差的单位是原始数据单位的平方，与原始数据不一致，给使用带来不便．为了使二者的单位一致，可以用方差的算术平方根，即，我们称之为这组数据的标准差． 标准差与方差一样，刻画了一组数据的离散程度或波动幅度．标准差越大，数据的离散程度越大;标准差越小，数据的离散程度越小． 问题4：方差和标准差的取值范围是什么?如果方差和标准差为0，这组数据有什么特点? 师生活动：学生自主探究并回答．教师进一步说明，方差和标准差都是刻画一组数据离散程度的指标，但是在解决实际问题中，一般多采用标准差．由于计算复杂，我们可以借助计算器或者计算机帮助计算． 设计意图：巩固对方差和标准差的理解． 3、 实例应用 （一）分层随机抽样样本方差的计算 在实际问题中，如果能获得总体中所有个体的观测值，可以用方差的公式直接计算总体的方差．比如，要了解某中学教师年工资差别，可以直接从学校财务处获得所有教师的年工资收人数据，计算其方差即可判断．如果要了解某市中学教师年工资的差别，获取所有老师的年工资数据就比较困难，可以用简单随机抽样或分层随机抽样方法抽取样本，得到样本中所有个体的年工资数据，然后计算其方差，该方差是样本的方差，利用样本估计总体的思想，可以用样本方差估计总体方差． 问