7.3复数的三角表示（2课时）教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 7.3 复数的三角表示（第一课时） 教科书 书 名：高中数学必修第二册（人教A版2019）教材 出版社：人民教育出版社 教学目标 1. 了解、掌握复数的三角表示式，了解复数的两种形式的意义； 2. 了解复数的三角形式下的运算及法则. 教学内容 教学重点： 复数的三角形式下的运算及其几何意义. 教学难点： 复数的代数形式与三角形式的应用. 教学过程 1、 温故知新 奠定基础 复数的几何意义： 2、 引导探究 得出概念 问题1：我们知道复数z＝a＋bi可以由向量的坐标唯一确定，向量 既可以由它的坐标唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析图1，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？你认为如何表示？ 追问1：为了解决问题1，首先应研究什么？ 追问2：如何用文字表述角 θ 呢？ 【设计意图】利用教科书上的探究问题，借助复数的几何意义，引导学生尝试定量刻画向量的大小和方向，为得出复数的三角表示式奠基，这也是得出复数三角表示式的第一个关键环节. 追问3：你能用向量的模，以及以 x 轴的非负半轴为始边，以向量所在射线为终边的角 θ 来表示复数z吗？ 由复数z＝a＋bi的向量表示，易得 追问4：角 θ 的终边落在其余象限时，上式也成立吗？成立 【设计意图】要求学生进一步借助图形，得出模和角与平面向量的坐标的关系，从中感受复数和平面向量的关系以及数形结合的思想.这是得出复数三角表示式的另一个关键环节. 复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 的形式.其中r是复数的模；θ是以 x 轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角. 叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式. a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 自我小测：1.写出下列复数的辐角. （1） i （2）1 （3）-1 （4）-i （5）0 问题2：一个复数的辐角的值有多少个？ 追问：这些辐角的值之间有什么关系呢？ 【设计意图】让学生由平面直角坐标系中终边相同的角的特点，得出复数辐角的多值性，以及这些值之间相差的整数倍；类比零向量，了解复数为0时辐角的任意性. 问题3：在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非 0 复数有唯一确定的“值”作为其所有辐值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？ 规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作 arg z. 追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？ 【设计意图】给出辐角的主值的概念和取值范围，让学生了解规定辐角的主值，保证了其唯一性，从而为一些表述和研究带来便利. 自我小测：1.写出下列复数的辐角的主值. （1）i （2）1 （3）-1 （4）-i 把一个复数表示为三角形式时，辐角不一定取主值. 【设计意图】由学生容易出错的问题，通过具体事例引出对复数三角表示式的辨析，通过对复数三角表示式结构特点的分析，得出复数三角表示式的结构特征，进而根据结构特点对复数的三角表示式作出判断. 3、 概念应用 巩固新知 例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式. 解：（1）复数对应的向量如图所示，则 ， 所以 （2）复数对应的向量如图所示，则 ， 所以 或者：，但是辐角不是辐角主值. 【设计意图】一方面是让学生进一步体会复数的几何意义，感受复数和平面向量一一对应的关系；另一方面是借助与复数对应的点的坐标，判断角的终边所在的象限，体会将复数代数形式化为三角形式的基本方法. 例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量， 并把这些复数表示成代数形式. 解：（1）复数的模,一个辐角， 对应的向量如图所示，所以 （2）复数的模，一个辐角， 对应的向量如图所示， 所以 【设计意图】一是通过几何直观，帮助学生进一步认识复数三角形式中. 问题4：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？ 两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？ 两个复数相等两个复数的模相等且辐角主值相等 4、 课堂小结 回顾反思 复数的两种形式 代数形式 三角形式 实部 虚部 辐角 ， 辐角主值 复数的三角形式和代数形式可以根据需要进行互化. 5、 作业布置 目标检测 1. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成