7.1复数的概念教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 《7.1复数的概念》 教科书 书 名：普通高中教科书·数学（A版）必修 第二册 出版社：人民教育出版社 教学目标 1. 能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，并能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则”，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用． 2.能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn图表示数集之间的关系，知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题． 3.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.掌握复平面、复数的模及共轭复数． 教学内容 教学重点： 1. 数系扩充的过程和方法；对i的规定和理解复数的相关概念； 2. 复数的两种几何意义及复平面、复数的模及共轭复数等概念． 教学难点： 1. 数系扩充的基本思想及虚数单位i的引入； 2. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系． 教学过程 （一）复习回顾，再现思想 思考：截至目前，我们都学习过哪些数集？这些数集之间有什么关系？ 预设回答：自然数集、整数集、有理数集、实数集。后面的数集包含前面的数集，即后一个数集是前一个数集的扩充。 追问：为什么要扩充数系？ 从满足社会发展需要的角度，以视频的形式简单回顾数系扩充的过程。 从解决数学内部矛盾的角度，通过在特定数集中求解方程回顾数系的扩充过程。 在自然数集中无解，引入负整数使其有解。 在整数集中无解，引入分数使其有解。 在有理数集中无解，引入无理数使其有解。 【总结】数系扩充的原则 （1）引入新数，即增加新元素； （2）加法与乘法满足交换律、结合律及分配律均得到保留，即原数集中的运算性质仍然成立。 （二）创设情境，引出新数 问题：在实数集中有解吗？为什么无实数解？ 预设回答：在实数集中无解，因为在实数集中对-1开平方没有意义。 追问：联系从自然数集扩充到实数集的过程，你能给出一种方法，使该方程有解？ 预设回答：引入新数扩充实数集，使负数开方在新数集中有意义。 师：引入新数i，并介绍相关数学史——数学家欧拉。规定，把新引进的数添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律（即保留原有的运算律及运算性质）。 （三）建构新知，感知复数 思考：数系扩充保留运算律，那么在实数集中引入新数i后，新的数集中包含哪些数? 预设+引导：实数a 实数b与i相乘，如：3i，-2i，，等，结果记作bi 实数a与bi相加，如：2+3i，4-2i，等，结果记作a+bi 实数a=a+0i bi=0+bi 归纳复数的结构特征：所有实数以及i都可写成a+bi (a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。 复数的概念：把形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数。i 叫做虚数单位。 复数集：全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集。 复数的代数形式：z=a+bi(a,b∈R)，其中a为实部，b为虚部。 注意：复数z的实部和虚部都是实数。 如：3+2i的实部是3，虚部是2 的实部是，虚部是 的实部是，虚部是1 -0.2i的实部是0，虚部是-0.2 思考：复数可以像实数那样比较大小吗？ 师：一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。 追问：如何判断两个复数相等呢？ z1=a+bi,z2=c+di 若z1=z2，则a=c且b=d. 每个复数都可以由实部和虚部这两个实数唯一确定，对复数进行分类。 思考：用韦恩图表示出复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系。（小组合作） （四）典例分析，理解概念 例1 当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m−1)i是下列数？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 分析：因为m∈R，所以m+1与m−1都是实数，由复数是实数，虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值。 解：(1)当m−1=0，即m=1时，复数z是实数； (2)当m−1≠0，即m≠1时，复数z是虚数； (3)当m+1=0且m−1≠0时，即m=−1时，复数z是纯虚数。 （五）建构新知，几何感知 1.复数的两种几何意义 思考：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。那么，复数有什么几何意义呢？ 复数z=a+bi实部为a，虚部为b，可以确定唯一的有序数对（a,b），而有序数对（a,b）又可以确定实部为a，虚部为b的复数，