2024年九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（特殊四边形问题）

2024年九年级数学中考专题训练： 二次函数压轴题（特殊四边形问题） 1．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与 y轴交于点C，直线与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段上一个动点（与E，F不重合），轴与抛物线交于点Q． (1)求抛物线的解析式． (2)当P在什么位置时，四边形为平行四边形?求出此时点P的坐标． 2．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线经过B，C两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标． (3)如图②，P为直线上方的抛物线上一点，轴交于D点，过点D作于E点．设，求m的最大值． 3．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．点是该抛物线上位于第二象限的动点，连接，．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)当时，求点的横坐标； (3)点到直线的距离的最大值为________，此时点的坐标为________； (4)在抛物线的对称轴上找一点，抛物线上找一点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 4．如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，过A，B两点的抛物线与x轴交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是直线上一动点，过点M作y轴的平行线与抛物线交于点D，若以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标． 5．如图1，抛物线C：与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，，其对称轴为直线． (1)求抛物线C的解析式； (2)已知点，点E，F均在抛物线上（点E在点F右侧），若以C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)如图2，将抛物线C平移得到抛物线，使的顶点在原点，过点的两条直线，它们与y轴不平行，都与抛物线只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线必过定点． 6．如图，抛物线与轴交于点，两点，（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)求该拋物线的解析式； (2)若为拋物线的顶点，求的面积； (3)若是平面直角坐标系内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②连接，，求的面积最大时点的坐标； (3) 设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．综合与探究： 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点D是对称轴右侧第一象限内抛物线上一点． (1)求出点A，B，C的坐标； (2)当时，求出点D的坐标； (3)在满足（2）的条件下，如图2，过点C作，交直线于点E，连接．则四边形是否为平行四边形？请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，作直线，点P是抛物线在第四象限上的一个动点（点P不与点B，C重合），连接，以为边作平行四边形，点P的横坐标为m． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当平行四边形有两个顶点在x轴上时，求点P的坐标； (3)当平行四边形是菱形时，求m的值． (4)当m为何值时，平行四边形的面积有最大值？ 10．已知抛物线的顶点为与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过顶点作轴于，交直线于，点，分别在抛物线和轴上，若点Q坐标为，且以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值； (3)将抛物线向右平移一个单位得抛物线，直线与轴交于点，与抛物线交于，两个不同点；分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，当的值在取值范围内发生变化时，式子的值是否发生变化？若不变，请求其值． 11．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点，点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标． (3)以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形．请直接写出所有符合条件的D点坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交于点，与轴交于点，以原点，点，点为顶点在第一象限内作矩形． (1)点坐标为______； (2)连接矩形对角线，交于点，若将抛物线向下平移个单位，使得平移后的抛物线经过点，求的值； (3)若将矩形向左平移个单位（），边与分别与抛物线交于点，点．若点纵坐标是点纵坐标的倍，求的值． 13．如图，已知抛物线与x轴交点为A、B