2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（相似三角形问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数压轴题（相似三角形问题） 1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3）． (1)求该抛物线的表达式； (2)过点B作x轴的垂线，在该垂线上取一点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P的坐标． 2．如图，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）． （1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式及顶点Q的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P，使△BPC的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在写出理由； （3）直线y=kx-6与y轴交于点N,与直线AC的交点为M,当△MNC与△AOC相似时，求点M坐标． 3．已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C. 已知A，C两点的坐标分别为A(-4,0), C(0,4). （1）求抛物线的表达式； （2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标； （3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标. 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC． （1）求点A、B、D的坐标； （2）若△AOD与△BPC相似，求a的值； （3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由. 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在x轴上，点为抛物线上一点，轴交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线对称轴左侧，直线下方图象上一点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，作，垂足为，连接，若，求的值． 6．已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝+bx﹣4经过点A（4，0），与y轴交于点C，点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称． （1）求这条抛物线的解析式并求出点B的坐标； （2）连结AC、BC，点P在y轴上，使得当A、C、P为顶点的三角形与△ABC相似时，求点P的坐标； （3）连结AC、BC，点D在直线AC上且tan∠BDC＝3，求点D的坐标． 7．如图，抛物线的图像过点A(3，0)，对称轴为直线，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为B． 若点P(0，m)，在轴正半轴上运动，点Q为抛物线一动点，且在第四象限，连接PQ交x轴于点E，连接BE． (1)求抛物线的解析式 (2)当m=1.5时，且满足以P、O、E三点构成三角形与BCP相似，求PBE的面积． (3)当以点B、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形时，写出点P的坐标 ，点Q坐标 ． 8．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A（−3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，请直接写出x的范围； （3）点D是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接CD，当∠ACD=90°时，求点D的横坐标． 9．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线L与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点C坐标为（0，﹣1），AB＝4，点P是抛物线L上的动点． (1)求抛物线L的解析式； (2)若点C在直线y＝t（t＜0）上，抛物线L上存在点M，使得点M是△OBC的外心． ①直接写出t的取值范围； ②已知点N在y轴的负半轴上，且∠MAB＝∠ANO，点D（﹣3，m）在直线AN上，当t取得最小值时，求△OPD周长的最小值． 10．如图1，直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为． (1)求a，b的值． (2)将点A绕点C逆时针旋转得到点D． ①判断点D是否在抛物线上，并说明理由． ②如图2，将直线向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段上．若，求出点G的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t． (1)求抛物线的解析式； (2)求点D的坐标； (3)当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，直接写出t的值． 12．如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于A、B两