2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数压轴题（特殊三角形问题） 1．如图①,已知抛物线与轴交于A和B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C．顶点为D． (1)求出点A,B,D的坐标 (2)如图①,若线段OB在x轴上移动,点O,B移动后的对应点为O´,B´.首尾顺次连接点O´、B´、D、C构成四边形O´B´DC,当四边形O´B´DC的周长有最小值时,在第四象限的抛物线上找一点P,使得△PO´C的面积最大,求出此时点P的坐标: (3)如图②,若点M是抛物线上一点,点N在y轴上,连接CM、MN.是否存在一点N,使△CMN为等腰直角三角形,若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,说明理由. 2．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．已知点，．抛物线的对称轴是直线，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)当是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长； (3)过点P作x轴的垂线，垂足为N，设直线交直线于点F，是否存在这样的m值，使？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 3．如图1，已知二次函数（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为，直线l的解析式为y=x． （1）求二次函数的解析式； （2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式； （3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标． 4．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接．    (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，点F的坐标为______； (3)若点P是抛物线上不与点D重合的一个动点，求当时点P的坐标； (4)是否存在点M在抛物线上，点N在直线上，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知：直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，且交x轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m． ①试求当m为何值时，△PAB的面积最大； ②当△PAB的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上否存在点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q的坐标若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于原点O和点，点在抛物线上．      (1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； (2)若点P为线段上方抛物线上的点，过点P作x轴的垂线，交于点Q，求线段长度的最大值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得为以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标． 7．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(－4,0)、B(2,0)，在y轴上有一点 E(0，－2)，连接AE．    （1）求二次函数的表达式； （2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED＝，求此时点D坐标； （3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长． 8．如图，已知抛物线的图象与x轴交于和点B且．（点A在点B的右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点F是直线下方抛物线上的一点，当的面积最大时，请求出点F的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由． 9．如图，抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣4，0)和点B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是x=﹣1与x轴交于点D． （1）求拋物线的函数表达式； （2）若点P(m，n)为抛物线上一点，且﹣4＜