2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（面积问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数压轴题（面积问题） 1．如图1，顶点为的抛物线交轴于，两点，其坐标分别为，，交轴的正半轴于点，是线段上异于，的一个动点，为上一点．    (1)求该抛物线的表达式并写出点的坐标． (2)当时，求面积的最大值． (3)如图2，的延长线交于点，若，记，，求的最小值． 2．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)已知，为抛物线与轴的交点． ①求抛物线的解析式； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值； ③求面积的最大值． 3．如图，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是，，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若E为线段上一个动点，其横坐标为m，过点E作轴于点F，求当m为何值时，四边形的面积最大？ (3)若点P在抛物线的对称轴上，线段绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m（m＜0）的顶点： （1）求A、B两点的坐标； （2）求经过点A，C，B的抛物线C1的函数表达式． （3）探究“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线与轴交于Ａ、Ｂ两点（Ａ在Ｂ的左侧），且Ａ、Ｂ两点的横坐标是方程－１２＝０的两个根．抛物线与轴的正半轴交于点Ｃ，且ＯＣ＝ＡＢ． （１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标； （２）求此抛物线的解析式； （３）连接ＡＣ、ＢＣ，若点Ｅ是线段ＡＢ上的一个动点（与点Ａ、点Ｂ不重合），过点Ｅ作ＥＦ∥ＡＣ交ＢＣ于点Ｆ，连接ＣＥ，设ＡＥ的长为，△ＣＥＦ的面积为Ｓ，求Ｓ与之间的函数关系式； （４）对于（３），试说明Ｓ是否存在最大值或最小值，若存在，请求出此值，并求出此时点Ｅ的坐标，判断此时△ＢＣＥ的形状；若不存在，请说明理由． 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于另一点，点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，直线与轴交于点，连接，．当四边形的面积最大时，求点的坐标以及四边形面积的最大值． (3)如图3，连接，将（1）中抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点．在新抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线经过点B、C． (1)求抛物线的表达式； (2)过点A的直线交抛物线于点M，交直线于点N，连结，当直线平分的面积．求点M的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD． (1)填空：______； (2)将平移到（点E，F，G依次与A，O，C对应），若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标； (3)设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T．若，求与的面积之比． 9．在平面直角坐标系中，抛物线（，、为常实数）交轴于、两点，与轴交于点．    (1)如图1，若在此抛物线上，求出这个抛物线解析式； (2)如图，在（）的条件下，为（）中抛物线第四象限一动点，连、，求能使四边形面积最大时的点坐标；并求出四边形的最大面积． (3)将抛物线平移到以坐标原点为顶点的位置，为坐标系轴正半轴上一点，、为平移后的抛物线上两点，始终在点左边，连、、，若、点横坐标分别为、，则当为等腰直角三角形，且时，求、间的数量关系． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接PC． (1)求直线BC的解析式； (2)抛物线对称轴与BC交于点D，点P为直线BC下方对称轴右侧抛物线上的一点，连接PB，PD．当△BDP的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．求点Q经过的最短路径的长； (3)将△BOC绕点O顺时针旋转60°得到△B′OC′，点B，C的对应点分别为B′，C′，点E为直线BC上一点，连接B′E，C′E．当△B′C′E为等腰三角形时，求符合条件的点E的坐标