第3章函数的概念与性质 章末小结 课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第3章 函数的概念与性质 第3章章末小结 1 知识导图 2 &1& 求函数定义域 例1（1） 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______ __________. <m></m> ， <m></m> , <m></m> 题型探究 3 [解析] 函数 的定义域为 ， ， ， 的定义域为 ， 在 中， 解得 或 ， 函数 的定义域为 , , . 4 （2）函数 的定义域为____________. <m></m> [解析] 由题可得 得 故函数的定义域是 . 小结 求复合函数的定义域一般有两种情况：①已知 的定义域是 ，求 的定义域，可由 求出 的范围，即 的定义域；②已 知 的定义域是 ，求 的定义域，可由 求出 的范围， 即 的定义域. 5 &2& 求函数解析式 例2 （1）已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式； （2）已知 是 上的奇函数，且当 时， ，求 的解析式. 6 [解析] （1）设 ，则 ， 即 解得 即 . （2） 是 上的奇函数， , . 当 时， ，所以 . 综上所述， 小结 换元法、消元法以及待定系数法是求函数解析式的常用方法，利用换元法求函数解析式时应注意自变量取值范围的变化. 7 &3& 函数的性质 例3 已知 是 上的偶函数. （1）求实数 的值； （2）判断函数 在区间 上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数 在区间 上的最大值与最小值. 方法指导（1）根据偶函数的性质进行求解； （2）根据单调性的定义进行判断证明； （3）根据偶函数的性质，结合单调性进行求解. 8 [解析] （1）因为函数 是 上的偶函数， 所以有 ， 因为 ，所以 . （2）由（1）可知, ，即 ，且 在 单调递增，证明如下： 设 , 是 上任意两个实数，且 ，即 ， 则 ， 因为 ，所以 ， 所以函数 在区间 上单调递增. 9 （3）由（2）可知，函数 在区间 上单调递增，而函数 是偶函数，所 以函数 在 上单调递减，因为 ， , , ， 所以 , . 小结 解决有关函数性质的问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值. 10 &4& 函数图象及应用 例4 已知函数 . （1）画出函数 图象并写出 的单调区间； （2）求集合 使方程 有四个不相等的实根｝. 11 [解析] （1）当 时，得 ，函数 ， 当 时，得 或 ，函数 ， 即 的图象如图所示， （2）由题意可知，函数 与 的图象有四个不同的交点，则 . 故集合 . 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 和 . 12 小结 作函数图象的方法 （1）描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线. （2）变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转. ①平移： ； （其中 ， . ②对称： ； ； . 13 &5& 抽象函数 一、抽象函数的求值问题 例5 已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 等于( ). C A.2 B.3 C.6 D.9 [解析] 令 ，得 ，即 ，因为 ,令 ，得 ，令 , ，得 ，令 , ，得 ， 解得 . 14 小结 与抽象函数值有关的问题通常用特殊值的方法来解决，此类问题主要考查抽象函数的有关运算和性质. 15 二、抽象函数的奇偶性、单调性问题 例6 已知函数 对任意实数 ， 都有 ，且 时， ， . （1）求证： 是奇函数. （2）求函数 在 上的最大值与最小值. 方法指导 （1）令 可得 ，再令 结合奇函数的定义即可求证； （2）利用函数单调性的定义证明 在 上的单调性，由单调性即可求得最值. 16 [解析] （1）令 ，得 ，所以 ， 令 ，得 ， 所以 ，且 ，定义域关于原点对称，所以 是奇函数. （2）设 ， 是任意两个实数，且 ，则 ， 所以 ， 可得 ，即