5.5 三角函数模型的简单应用课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第5章 三角函数 5.5 三角函数模型的简单应用 1 1.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.（数学建模） 2.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.（数学建模、数学运算） 学习目标 2 1.函数 是不是周期函数？ [答案] 是周期函数. 2.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ [答案] 三角函数模型. 3.在建模过程中，怎样判断是用正弦函数模型还是用余弦函数模型？ [答案] 根据变量和对应值的变化特征来判断. 自主预习 3 4.生活中有哪些事物的变化规律符合三角函数的特征？ [答案] 弹簧的伸缩运动，摩天轮的旋转，钟摆运动等. 4 1.电流 随时间 变化的关系式是 ，则当 时，电流 为_ _A. <m></m> [解析] 将 代入关系式，得 . 2.某简谐运动的图象如图所示，则这个简谐运动需要____ 往返一次. 0.8 [解析] 观察题图可知，此简谐运动的周期 ，所以这 个简谐运动需要 往返一次. 5 探究1 三角函数模型在实际问题中的应用 如图，某地夏天 时的用电量变化曲线近似满足函数 ， ， . 问题1： 时的最大用电量为多少万千瓦时？最小用电量 为多少万千瓦时？ [答案] 由图象得最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时. 合作探究 6 问题2： 这段曲线的函数解析式是什么？ [答案] 观察图象可知， 时的图象是 的半个周期的图象， ， ， ， ， . 将 ， 代入上式，又 ，解得 ， 所求解析式为 ， . 7 新知生成 解三角函数应用问题的基本步骤 8 新知运用 例1 已知电流 与时间 的关系为 . （1）如图所示，这是 ， ， 在一个周期内的图象，根据图中数据求 的解析式； （2）如果 在任意一段 的时间内，电流 都能取得最大值和最小 值，那么 的最小正整数值是多少？ 方法指导 已知三角函数图象解决应用问题，首先由图象确定三角函数的解析式，其关 键是确定参数 ， ， ，同时在解题中注意各个参数的取值范围. 9 [解析] （1）由题图可知 ，设 ， ， 则周期 ， . 又当 时， ，即 ， 而 ， . 故所求的解析式为 . （2）依题意知，周期 ，即 ， ， 又 ，故所求最小正整数 . 10 &1& 利用三角函数处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 11 例2 随着人们物质和文化生活水平的提高，旅游业也逐渐兴旺起来.经过调查研究，在 某个风景区，每年到访的游客人数会发生周期性的变化.现假设该风景区每年各个月份 游客的人数（单位：万人） 可近似地用函数 来刻 画.其中，正整数 表示月份且 ，例如 表示二月份， 和 是正整 数， .统计发现，风景区每年各个月份游客人数有以下规律： ①每一年相同的月份，该风景区游客人数大致相同； ②该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约400000人； ③二月份该风景区游客大约为100000人，随后逐渐增加，八月份达到最多. （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的 的表达式； （2）一般地，当该地区游客超过400000人时，该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”.那么，一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”？ 12 方法指导 （1）由实际问题的周期性且周期为12、淡旺季数据，结合数学模型即可求 ， ， ，进而可得表达式；（2）由（1）结合已知条件 即可求出 的范围，结合实际条件即可知旺季所含月份. 13 [解析] （1）根据三条规律可知，该函数为周期函数且周期为12，可得 ， 即 ，由规律②③可知， 解得 综上，可得 . （2）由题意， ，可得 ， ， ，即 ， ， 又 ， ， ，故 ，8，9，10，即一年中的七、 八、九、十这4个月是该风景区的旅游“旺季”. 14 &2& 在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活地运用三角函数的图象和性质进行解答. 15 如图，某动物种群数量1月1日 时 低至700，7月1日高至 900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化. （1）求出种群数量 关于时间 的函数表达式（其中 以年初 以来的月为计量单位）； （2）估计当年3月1日的动物种群数量.