5.3.2 正切函数的图象与性质课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第5章 三角函数 5.3 三角函数的图象与性质 1 5.3.2 正切函数的图象与性质 2 1.掌握正切函数的周期性和奇偶性.（数学抽象） 2.能借助单位圆画出 的图象.（直观想象） 3.掌握正切函数的性质.（数学运算） 学习目标 3 1.正切函数与正弦函数、余弦函数的关系是什么？ [答案] . 2.正切函数的定义域是什么？ [答案] ， . 自主预习 4 3.正切函数在定义域上是单调函数吗？ [答案] 不是. 4.正切曲线是中心对称图形吗？若是，其对称中心是什么？是轴对称图形吗？ [答案] 正切曲线是中心对称图形，对称中心为 ， ，不是轴对称图形. 5.正切函数 的图象与直线 ， 有公共点吗？ [答案] 没有.正切曲线是由被互相平行的直线 隔开的无穷多支曲线 组成的. 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）正切函数的定义域和值域都是 .( ) × （2）正切函数在 上是递增的.( ) × （3）正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心.( ) √ （4）正切函数的最小正周期为 .( ) √ 2.函数 的定义域为_____________________. <m></m> [解析] 令 ，解得 ，故函数的定义域为 . 6 3.函数 ， ， 的最大值为___. 1 [解析] 正切函数在 ， 上单调递增，故函数的最大值为 . 4.函数 的单调递增区间是____________________________. <m></m> ， <m></m> ， <m></m> [解析] 令 ，解得 ，故函数的单调递增区间为 ， ， . 7 探究1 正切函数的定义域、周期性与奇偶性 问题1： 角的正切是如何定义的？在单位圆中如何表示？ [答案] 设 是一个任意角， ，它的终边 与单位圆相交于点 . 把点 的纵坐标 与横坐标 的比值叫作 的正切函数，记作 ，即 . 合作探究 8 问题2： 正切函数 的定义域是什么？ [答案] 定义域是 . 问题3： 根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？ [答案] 先研究正切函数的周期性、奇偶性，然后结合性质研究函数的图象和单调性. 问题4： 我们知道 ，那么 与 相等吗？ [答案] 相等.当 为奇数时， ；当 为偶数时， .所以 . 9 新知生成 1.周期性 正切函数是周期函数，最小正周期是 . 2.奇偶性 正切函数是奇函数. 10 新知运用 例1 （1）求函数 的定义域； （2）求函数 的最小正周期； （3）判断函数 的奇偶性. 11 [解析] （1）由题意知 ， ，解得 ， . 故函数的定义域为 . （2） ， 的最小正周期是 . （3）由题意可知，函数的定义域为 ，定义域关于原点对称， ， 是奇函数. 12 1.若函数 为奇函数，则 或 ，否则为非奇非偶函数. 2.因为正切函数是奇函数，所以原点是函数 图象的一个对称中心，同样， 结合函数 的图象，可以得到 ， 都是正切函数图象的对称中心. 3.求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要 保证正切函数 有意义，即 .而对于构建的三角不等式，常 利用正切函数的图象求解． 13 1.已知函数 ，则下列说法正确的是( ). B A. 的定义域是 B. 的值域是 C. 是奇函数 D. 的最小正周期是 14 [解析] 对于A，令 ， ，得 ， ，故A错误； 对于B，因为函数 的值域为 ，所以 的值域为 ，故B正确； 对于C， ，则 不是奇函数， 故C错误； 对于D， 的最小正周期为 ，故D错误.故选B. 15 2.已知函数 ，若 ，则 ____. <m></m> [解析] 由 ，则 ，所以 . 16 探究2 正切函数的图象及其应用 下图为函数 ， ， ， ， 的图象，根据图 象回答下面的问题： 17 问题1： 作正切函数 ， ， 的图象的关键是什么？ [答案] 三个关键点 ， ， ， ， 及两条渐近线 和 在图 象中起着关键的作用. 问题2： 直线 与函数 的图象的两交点 ， 之间的距离是多少？ [答案] 由图象结合正切函数的周期性可知，两交点 ， 之间的距离为 . 问题3： ， ， 的值域是什么？ [答案] . 18 新知生成 1.正切函数的图象叫作正切曲线.