5.3.1 课时3 正弦函数、余弦函数的单调性与最值课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第5章 三角函数 5.3 三角函数的图象与性质 1 5.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质 课时3 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 2 1.掌握 ， 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.（数学运算） 2.掌握 ， 的单调性，并能利用单调性比较大小.（逻辑推理） 3.会求函数 及 的单调区间.（数学运算） 学习目标 3 1.函数 的最小正周期是什么？ [答案] . 2.函数 是奇函数还是偶函数？若 为偶函数，则 有什么要求？ [答案] 为偶函数， 自主预习 4 3.从图象的变化趋势来看，正弦函数、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？ [答案] 正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方. 4.正弦函数在 ， 上函数值的变化有什么特点？ [答案] 观察图象可知，当 ， 时，曲线逐渐上升， 该函数是增函数， 的值由 增大到1； 当 ， 时，曲线逐渐下降，该函数是减函数， 的值由1减小到 . 5 5.余弦函数在 ， 上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ [答案] 观察图象可知，当 时，曲线逐渐上升， 该函数是增函数， 的值由 增大到1； 当 时，曲线逐渐下降，该函数是减函数， 的值由1减小到 . 所以，在整个定义域中，函数值的取值范围是 . 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）正弦函数 在 上是增函数.( ) × （2）余弦函数 的一个减区间是 .( ) √ （3） ，满足 .( ) × （4）当余弦函数 取最大值时， ， .( ) × 2.函数 的最小值为___. 1 [解析] 因为 ，所以 . 7 3.当函数 取最大值时， 的值为_ _______________. <m></m> [解析] 当 时，函数取最大值，此时 4.函数 ， 的单调递减区间是_ ______；单调递增区间是______. <m></m> <m></m> [解析] 画出函数的图象（图略），可得单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 8 探究1 正弦、余弦函数的最值 问题1： 观察正弦曲线和余弦曲线，正弦函数、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？ [答案] 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，最大值和最小值分别是1和 . 合作探究 9 问题2： 当自变量 分别取何值时，正弦函数 取得最大值1和最小值 ？ [答案] 对于正弦函数 ， ， 当且仅当 ， 时，函数取得最大值1； 当且仅当 ， 时，函数取得最小值 . 10 新知生成 正弦函数、余弦函数的最值 正弦函数 余弦函数 图象 值域 最值 当 ， 时， ； 当 ， 时， 当 ， 时， ； 当 ， 时， 11 新知运用 例1 求下列函数的最值. （1） ； （2） . 方法指导（1）利用余弦函数的值域确定函数的最值；（2）利用变量代换转化为二次函数求值域，注意变量的范围. 12 [解析] （1）因为 ， 所以当 时， ； 当 时， . （2） . 因为 ， 所以当 时，函数取得最大值， ； 当 时，函数取得最小值， . 13 &1& 三角函数最值问题的求解方法：（1）形如 或 型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性求最值，注意对 正负的讨论.（2）形如 或 型，可先由定义域求得 的范围，然后求得 或 的范围，最后求得最值.（3）形如 型，可利用换元思想，设 ，转化为二次函数 求最值， 的范围需要根据定义域来确定. 14 1.函数 的最大值是___，此时 值的集合是___________________. 3 <m></m> [解析] 由 ，可得函数 的最大值是3， 此时 ， ，所以 ， ，所以 值的集合是 . 15 2.函数 ， 的值域是_ ______. <m></m> [解析] 令 ，由于 ，故 ， ， 当 ，即 时，函数有最大值，最大值为10； 当 ，即 时，函数有最小值，最小值为2. 所以该函数的值域是 . 16 探究2 正弦、余弦函数的单调性 分析如图所示的正弦曲线和余弦曲线及其对称轴，回答下列问题： 17 问题1： 观察正弦曲线，研究正弦函数的单调性，我们是否需要其在全体实数集上的图象？ [答案] 不需要，选择一个周期的图象就能将单调性完整地呈现出来. 问题2： 如图，观察正弦函数