5.3.1 课时2 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第5章 三角函数 5.3 三角函数的图象与性质 1 5.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质 课时2 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 2 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.（数学抽象） 2.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心.（直观想象） 学习目标 3 1.正弦函数、余弦函数的定义域分别是什么？ [答案] ； . 2.从函数图象来看，正弦函数、余弦函数是否具有周期性和奇偶性？ [答案] 都具有周期性，最小正周期均为 ，正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数. 3.是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？ [答案] 并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）由于 ，则 是正弦函数 的一个周期.( ) × （2）函数 是奇函数.( ) √ （3）函数 是偶函数.( ) √ （4）函数 没有周期性.( ) × （5）函数 为偶函数.( ) × 5 2.函数 是____（填“奇”或“偶”）函数. 奇 [解析] 由于 ，故 为奇函数. 3.若函数 的周期为3，且 ，则 _ ___. <m></m> [解析] 6 探究1 周期函数的概念 自然界中存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动、 弹簧振动和圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知，角 的终边每转一 周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律， 需引入一个新的数学概念——函数周期性. 合作探究 7 问题1： 观察正弦函数图象可知，在图象上，横坐标每相隔 个单位长度，图象就 会重复出现，其理论依据是什么？ [答案] 由诱导公式 可知，当自变量 的值增加 的整数 倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变 化规律. 问题2： 设 ，则 可以怎样表示？如果把函数 称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？ [答案] .这就是说，当自变量 的值增加（减少）到 时，函数值重复出现. 8 问题3： 正弦函数 的周期是否唯一？正弦函数 的周期有哪些？ [答案] 正弦函数 的周期不止一个. ， ， ， 都是正弦函数的周期.事实上，任何一个常数 且 都是它的周期. 9 新知生成 1.周期函数 一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一 个值时， 都有定义，并且 ，那么函数 就叫作周期函数， 非零常数 叫作这个函数的一个周期. 2.最小正周期 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作函 数 的最小正周期. 10 3.正弦函数、余弦函数的周期性 记 ，则由 ，得 对 于每一个非零常数 且 都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函 数、余弦函数都是周期函数， 且 都是它们的周期，最小正周期都为 . 特别提醒：对周期函数的三点说明 （1）并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一. （2）若 是函数 的一个周期，则 且 也是函数 的周期. （3）并非所有的周期函数都有最小正周期，如 为常数， ，所有的 非零实数 都是它的周期，不存在最小正周期. 11 新知运用 例1 求下列函数的最小正周期. （1） ； （2） . 12 [解析] （1） ， 函数 的最小正周期 . （2）函数 的图象如图所示. 由图象可知，函数的最小正周期 . 13 &1& 求三角函数的周期的方法 （1）定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 都满足 的非零常数 .该方法主要适用于抽象函数. （2）图象法：可画出函数的图象，借助图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法. 14 利用周期函数的定义求下列函数的最小正周期. （1） ， ； （2） ， . [解析] （1）因为 ， 所以由周期函数的定义知， 的最小正周期为 . （2）因为 ， 所以由周期函数的定义知， 的最小正周期为 . 15 探究2 正弦、余弦函数的奇偶性 问题1： 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？ [答案] 正弦函数 的图象关于原点对称，余弦函数 的图象关于 轴对称. 16 问题2： 问题1中的对称性反映出正弦函数、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？ [答案] 正弦函