利用空间向量证明平行垂直与利用空间向量求距离课件-2025届高三数学一轮复习

第1课时　利用空间向量证明平行、 垂直与利用空间向量求距离 考情分析:立体几何解答题是高考六大解答题之一,为必考内容.以多面体、旋转体或组合体为载体,考查空间位置关系判定与性质的应用、空间角或空间距离.空间位置的判定与证明多用几何法,也可用向量法.空间角或距离的求解则主要利用向量法,重点考查逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养,难度中等. 知识梳理 1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得 =λa. 把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. (2)平面的法向量:直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量. (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一. 2.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2 l1∥l2 u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2=0 直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔u·n=0 l⊥α u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn n1,n2分别是平面α,β的法向量 α∥β n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2=0 3.利用空间向量求角 (1)异面直线所成的角 两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则 (2)直线与平面所成的角 直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图,直线AB与平面α相交 于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的 (3)平面与平面的夹角 平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则 4.利用空间向量求距离 (1)两点间的距离 (2)点到直线的距离 (3)点到平面的距离 已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α 考点一 利用空间向量证明平行、垂直 例1 如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,2AB=2AD=CD=4,AD⊥CD,AB∥CD,M为CE的中点.求证: (1)BM∥平面ADEF; (2)BC⊥平面BDE. 考点一 考点二 考点三 证明 (1)(方法一　几何法)取DE的中点N,连接AN,MN. 所以MN∥AB且MN=AB,所以四边形ABMN是平行四边形,所以BM∥AN. 又AN⊂平面ADEF,BM⊄平面ADEF, 所以BM∥平面ADEF. 考点一 考点二 考点三 (方法二　向量法)因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,DE⊥AD,DE⊂平面ADEF,所以DE⊥平面ABCD,又DC⊂平面ABCD,所以DE⊥DC. 如图,以D为坐标原点,以直线DA,DC,DE分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),C(0,4,0),D(0,0,0),E(0,0,2),M(0,2,1). 又BM⊄平面ADEF, 所以BM∥平面ADEF. 考点一 考点二 考点三 所以BD2+BC2=CD2,所以BD⊥BC. 因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,DE⊥AD,DE⊂平面ADEF,所以DE⊥平面ABCD, 又BC⊂平面ABCD,所以DE⊥BC. 又BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDE,所以BC⊥平面BDE. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练1] 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证: (1)MN∥平面A1B1C1; (2)平面MBC1⊥平面BB1C1C. 考点一 考点二 考点三 证明 (1)由题意易知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点, 分别以AA1,AB,AC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形AA1C1C的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1). 由题意知AA1⊥A1B1,AA1⊥A1C1, 又A1C1∩A1B1=A1,A1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,所以AA1